Question

Da um help aí, falta só mais esse

Answer 1

Temos a seguinte equação trigonométrica:

$\sf 2.cos(2x) + 1 = 0$

Pelo nosso conhecimento de trigonometria, sabemos que cos(2x) é uma das "fórmulas" do arco duplo, em seguida temos a sua "demonstração":

$\sf cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b) \\ \\ \sf cos(x + x) = cos(x).cos(x) - sen(x) .sen(x) \\ \boxed{ \sf cos(2x) = cos {}^{2} x - sen {}^{2} x}$

Substituindo essa expressão na equação trigonométrica:

$\sf 2.(cos {}^{2} x - sen {}^{2} x) + 1 = 0 \\ \sf 2cos {}^{2} x - 2sen {}^{2} x + 1 = 0$

Pela relação fundamental da trigonometria, sabemos que sen²(x) é:

$\sf sen {}^{2} x + cos {}^{2} x = 1 \\ \sf sen {}^{2} x = 1 - cos {}^{2}x$

Substituindo:

$\sf 2cos {}^{2} x - 2.(1 - cos {}^{2} x) + 1 = 0 \\ \sf 2cos {}^{2} x - 2 + 2cos {}^{2} x + 1 = 0 \\ \sf 4cos {}^{2} x - 1 = 0 \\ \sf 4cos {}^{2} x = 1 \\ \sf cos {}^{2} x = \frac{1}{4} \\ \sf cosx = \pm \sqrt{ \frac{1}{4} } \\ \boxed{ \sf cosx = \pm \frac{1}{2} }$

A questão nos fala que o "x" está em um intervalo de 0 a π, ou seja, 0 a 180° que corresponde do primeiro quadrante até o segundo, portanto iremos possui um valor no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.

O ângulos que possuem o cosseno igual a 1/2 são: 60° e 300°, mas 300° está no quarto quadrante, o que está fora do intervalo fornecido pela questão, portanto a primeira resposta é 60° ou π/3.

$\sf 60 {}^{ \circ} = \frac{\pi}{3}$

Como o outro valor tem que ser o 1/2 sendo negativo, pois está no segundo quadrante, basta você encontrar o ângulo congruo a 60° no segundo quadrante, para isso basta usar a simetria (π - a).

$\sf\pi - \alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{ 3 }$

Portanto temos que a segunda resposta é 120° ou 2π/3.

$\sf120 {}^{ \circ} ou \: \frac{2\pi}{3}$

Espero ter ajudado