Question

Da questão em anexo, por que , <w1, w2 x w3>,e não <w2, w1 x w3> ?

Answer 1

O volume de um paralelepípedo formado por três vetores é igual ao módulo do produto misto entre esses vetores. Portanto, se tratando de um módulo, a ordem do produto misto não importará

$V=||(\vec{u},~\vec{v},~\vec{w})||=||(\vec{v},~\vec{u},~\vec{w})||=||(\vec{w},~\vec{v},~\vec{u})||=...$
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Veja:

$\vec{w_{1}}=(-1,~3,-2)\\\vec{w_{2}}=(7,1,3)\\\vec{w_{3}}=(1,~1,-2)$

Fazendo o produto misto de outra forma:

$(\vec{w_{2}},~\vec{w_{1}},~\vec{w_{3}})=\left|\begin{array}{ccc}7&1&3\\-1&3&-2\\1&1&-2\end{array}\right|\\\\\\(\vec{w_{2}},~\vec{w_{1}},~\vec{w_{3}})=-42-2-3-9-2+14\\\\(\vec{w_{2}},~\vec{w_{1}},~\vec{w_{3}})=-44$

E, portanto:

$\boxed{\boxed{V=||(\vec{w_{2}},~\vec{w_{1}},~\vec{w_{3}})||=|-44|=44~uv}}$
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Isso vem das propriedades de determinantes: se trocarmos a posição de duas linhas de uma matriz, o sinal de seu determinante é trocado (mas o módulo desse permanece igual)