Question

(CPACN 2010) No conjunto dos inteiros positivos sabe-se que 'a' é primo com 'b' quando mdc (a, b) = 1.
Em relação a este conjunto, analise as afirmativas a seguir.

I- A fatoração em números primos é única.
II- Existem 8 números primos com 24 e menores que 24.
III- Se (a+b)² = (a+c)² então b=c
IV- Se a < b, então a.c < b.c

Quais afirmativas acima são verdadeiras? Justifique
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Answer 1

Resposta: TODAS são verdadeiras

Explicação passo-a-passo:

(OBS: CONSIDERE APENAS O CONJUNTO DOS INTEIROS POSITIVOS, ou seja, NÃO HÁ POSSIBILIDADES DE VALORES NEGATIVOS)

I- A primeira alternativa está correta, pois a fatoração de todo número inteiro positivo composto é única.

II- A alternativa dois está correta, pois é só jogar na fórmula da função de Euler, que calcula exatamente os números primos com algum número N que sejam menores que ele.

Utilizando a fórmula:

24= 2.2.2 x 3= 2^3 x3

Fórmula= 24. (2-1/2) . (3-1/3) = 8

Então a alternativa 2 está correta

III- iremos testar essa afirmativa SOMENTE considerando a possibilidade de números POSITIVOS, pois é o que ordena o enunciado.

A+B= A+C -> A-A +B= C logo B=C ( no conjunto de números inteiros positivos )

Alternativa 3 correta

IV- Considerando a, b e c como números positivos, essa alternativa sempre estará correta.

b>a, a x c < b x c

Já que todas as incógnitas são valores positivos qualquer número testado, desde que “a” seja maior que “b”estará correto.

( essa afirmativa só seria incorreta se “c” fosse menor que 0, porem números negativos ( menores que 0) não pertencem ao conjunto de inteiros positivos, não há como considerar essa possibilidade NESSA QUESTÃO)

Logo a IV, também está correta.