Question

cos2x é apenas para ajudar resolve utilizando este valor o resultado é
$\frac{3\pi}{8}$
demostre e explique. ​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Cálculo da Integral definida :

${\displaystyle \int^{\pi}_{0} \mathsf{\cos^4x dx} }$

$\mathsf{I~=~\int \Big(\cos^2 \Big)^2 dx }$

$\boxed{\mathsf{\cos^2x~=~\dfrac{1+\cos(2x)}{2} }}}}$

$\mathsf{I~=~\int \Bigg(\dfrac{1+\cos(2x)}{2} \Bigg)^2dx }$

$\mathsf{I~=~\int \dfrac{1+2\cos(2x)+\cos^2(2x)}{4} dx }$

$\mathsf{I~=~\dfrac{1}{4}\int \Big(1+2\cos(2x)+\cos^2(2x) \Big)dx }$

$\boxed{\mathsf{cos^2(2x)~=~\dfrac{1+\cos(4x)}{2} }}}}$

$\mathsf{I~=~\dfrac{1}{4}\int \Bigg(1+2\cos(2x)+\dfrac{1+\cos(4x)}{2} \Bigg)dx }$

$\mathsf{I~=~\dfrac{1}{4}\int \Bigg(1+2\cos(2x)+\dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos(4x)}{2} \Bigg)dx }$

$\mathsf{I~=~\dfrac{1}{4}\int \Bigg(\dfrac{3}{2}+2\cos(2x)+\dfrac{1}{2}.\cos(4x) \Bigg)dx }$

$\mathsf{I~=~\dfrac{1}{4}\Big(\dfrac{3}{2}x+2.\dfrac{1}{2}.\sin(2x)+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}.\sin(4x)\Big)\Bigg|^{\pi}_{0} }$

$\mathsf{I~=~\dfrac{1}{4}\Big(\dfrac{3}{2}.\pi + \sin(\pi) + \dfrac{1}{8}.\sin(4\pi) \Big)-\dfrac{1}{4}\Big(\dfrac{3}{2}.0+\sin(0) + \dfrac{1}{8}.\sin(4.0) \Big) }$

$\mathsf{I~=~\dfrac{1}{4}.\Big(\dfrac{3\pi}{2}+0+0\Big)-\dfrac{1}{4}.0 }$

$\boxed{\boxed{\mathsf{I~=~\dfrac{3\pi}{8} }}}}$ $\checkmark$

Espero ter ajudado bastante;)