cos(x) + sen(x) , dom pertence a [ -\p/2 , \pi /2 ]
a) calcule f(- \pi /2) e f(\pi /2)
b)Determine intervalos de crescimento e decrescimento de f
c) Determine os pontos de inflexão e concavidade
d) Esboce o gráfico de f
Soluções para a tarefa
a) f(x) = cos(x) + sen(x)
f(-π/2) = cos(-π/2) + sen(-π/2)
f(-π/2) = 0 + (-1)
f(-π/2) = -1
f(π/2) = cos(π/2) + sen(π/2)
f(π/2) = 0 + 1
f(π/2) = 1
b) Para encontrar os intervalos, vamos derivar a função f(x) e encontrar os pontos críticos, isto é, aqueles valores de x cuja derivada (f'(x)) é 0 ou não existe.
f'(x) = -sen(x) + cos(x)
f'(x) = cos(x) - sen(x)
0 = cos(x) - sen(x)
cos(x) = sen(x)
Sabemos que sen(x) = cos(π/2-x). Por exemplo, sen(π/6) = cos(π/2-π/6).
cos(x) = cos(π/2-x) => x = π/2 - x => 2x = π/2 => x = π/4 radianos
Já que os pontos extremos do intervalo [-π/2,π/2] não levam a valores de f(x) maiores que o valor de f(π/4), logo π/4 é um ponto x de MÁXIMO. Os intervalos de crescimento e decrescimento são obtidos analisando a função da primeira derivada em relação ao ponto crítico x = π/4.
f'(x) = cos(x) - sen(x)
Se x > π/4, f'(x) < 0. Logo, a função f(x) cresce no intervalo: (-π/2,π/4).
Se x < π/4, f'(x) > 0. Logo, a função f(x) decresce no intervalo: (π/4, π/2).
c) Os pontos de inflexão são obtidos encontrando os pontos críticos da segunda derivada.
f''(x) = -sen(x) -cos(x)
0 = -sen(x) - cos(x)
cos(x) = -sen(x) [eleve ambos os membros ao quadrado]
cos²(x) = sen²(x)
cos²(x) - sen²(x) = 0
Mas, pela relação fundamental:
cos²(x) + sen²(x) =1
2cos²(x) = 1
cos²(x) = 1/2
cos(x) = +/- √2/2
O domínio está restrito de -π/2 a π/2. Logo, a única solução viável é cos(x) = + √2/2. O valor de x:
cos(x) = -sen(x)
-sen(x) = √2/2
sen(x) = -√2/2 => x = -π/4 radianos
A concavidade será dada analisando o sinal da função f''(x) para x = -π/4. f''(x) = -cos(x) -sen(x).
Se x < -π/4, f''(-π/4) > 0. Logo, a concavidade é para CIMA.
Se x > -π/4, f''(-π/4) < 0. Logo, a concavidade é para BAIXO.
d) Encontre alguns pontos de referência (além dos já encontrados) para traçar o gráfico.
Se x = 0, f(x) = 1; Se x = -π/2, f(x) = -1; Se x = π/2, f(x) = 1; Se x = π/4, f(x) = √2. Se x = -π/4, f(x) = 0.
De fato, obtemos um resultado bem aproximado do gráfico real.
