Question

∫cos (x) / 1+sen² (x)
me ajudem

Answer 1

$\int\ {\frac{cos(x)}{1+sen^2(x)} \, dx$

Primeiro, vou fazer uma substituição para facilitar a resolução:

sen(x) = u

[sen(x)]' = u'

cos(x) dx = du

Portanto:

$\int\ {\frac{cos(x)}{1+sen^2(x)} \, dx$

$=\int\ {\frac{1}{1+sen^2(x)}\cos(x) \, dx$

$=\int\ {\frac{1}{1+u^2}\ \, du$

Agora, outra substituição:

u = tg(θ)

u' = [tg(θ)]'

du = sec²(θ) dθ

Com isso, temos:

$=\int\ {\frac{1}{1+u^2}\ \, du$

$=\int\ {\frac{1}{1+tg^2(\theta)}\ sec^2(\theta)\ \, d\theta$

$=\int\ {\frac{1}{sec^2(\theta)}\ sec^2(\theta)\ \, d\theta$

$=\int\ 1 \, d\theta$

$= \theta + C$

Por fim, apenas temos que colocar a resposta em termos de x:

Como u = tg(θ), então θ = arctg(u)

Além disso, como u = sen(x), então θ = arctg(sen(x))

$\int\ {\frac{cos(x)}{1+sen^2(x)} \, dx=arctg(sen(x))+C$

Resposta:  arctg(sen(x)) + C

Tentei fazer do jeito mais intuitivo e passo-a-passo que consegui, mas se estiver com alguma dúvida, pode me chamar nos comentários. Bons estudos ^~

Answer 2

$\large\boxed{\begin{array}{l}\underline{\rm Integral~que~produz~func_{\!\!,}\tilde ao}\\\underline{\rm trigonom\acute etrica~inversa}\\\displaystyle\sf\int\dfrac{dt}{a^2+t^2}=\dfrac{1}{a}\,arctg\bigg(\dfrac{t}{a}\bigg)+k\end{array}}$

$\large\boxed{\begin{array}{l}\underline{\rm fac_{\!\!,}a}\\\sf u=sen(x)\implies du=cos(x)dx\\\displaystyle\sf\int\dfrac{cos(x)}{1+sen^2(x)}dx=\int\dfrac{du}{1+u^2}=arctg(u)+k\\\sf substituindo~temos:\\\displaystyle\sf\int\dfrac{cos(x)}{1+sen^2(x)}dx=arctg(sen(x))+k\end{array}}$

$\Large\boxed{\begin{array}{c}\displaystyle\tt\ell ife=\int_{birth} ^{death} \dfrac{happiness}{time}d_{time} \end{array}}$