Question

Convergência.


Se X espaço, toda sequência convergente em X
converge para um único limite?

Answer 1

Nem sempre. No caso que X é um espaço de Hausdorff, ok.
Dada qualquer sequência  convergente  num espaço de Hausdorff o limite é único, como exemplo os espaços métricos.

No caso X não Hausdorff, tome como exemplo a família de conjuntos A={K:  K= {(x, y) ∈ R^2 , com a < y < b para − ∞ < a < b < ∞}}. A topologia gerada por A não é Hausdorff. A sequência da forma $x_{n}=(0, \frac{1}{n})$) converge para todo ponto da forma (x,0), com x em R.  Se fosse na topologia usual de R^2, esse limite seria único (0,0), mas como a topologia do espaço não é Hausdorff, ocorre infinitos limites.

Answer 2

Em geral não é verdade. Para espaços métricos sim. Sempre é possivel obter vizinhanças disjuntas(isso é ser Hausdorff.)