Question

Construa o gráfico da função definida por f(x) = |3-x| + 4 e determine a D(f) e Im(f)

Answer 1

O gráfico segue em anexo.


Pela definição de módulo de um número real, temos que

$\left|a \right|=\left\{ \begin{array}{rl} a,&\text{ se }a \geq 0\\ -a,&\text{ se }a<0 \end{array} \right.$


Sendo assim,

$\left|3-x \right|=\left\{ \begin{array}{rl} 3-x,&\text{ se }3-x \geq 0\\ -\left(3-x \right ),&\text{ se }3-x<0 \end{array} \right.\\ \\ \\ \left|3-x \right|=\left\{ \begin{array}{rl} 3-x,&\text{ se }x \leq 3\\ -3+x,&\text{ se }x>3 \end{array} \right.$


Então,

$f\left(x \right )=\left|3-x \right|+4\\ \\ f\left(x \right )=\left\{ \begin{array}{rl} 3-x+4,&\text{ se }x\leq 3\\ -3+x+4,&\text{ se }x > 3 \end{array} \right.\\ \\ \\ f\left(x \right )=\left\{ \begin{array}{rl} 7-x,&\text{ se }x\leq 3\\ 1+x,&\text{ se }x > 3 \end{array} \right.$


Logo, a função é definida por duas sentenças. Para valores de $x$ menores ou iguais a três, o gráfico da função é a reta

$y=7-x$


e para valores de $x$ maiores que $3$, o gráfico da função é a reta

$y=1+x$


$\bullet\;\;$ Não há nenhuma restrição para os valores de $x$ nesta função, ou seja, $x$ pode assumir qualquer valor real. Logo, o domínio da função é

$D\left(f \right )=\mathbb{R}$


$\bullet\;\;$ Para qualquer valor real de $x$, temos que

$0\leq \left|3-x\right|$

(o módulo de um número real nunca pode ser negativo)


Adicionando $4$ aos dois lados da desigualdade acima, temos

$4\leq \left|3-x\right|+4\\ \\ 4 \leq f\left(x \right )$


Logo, a função sempre assume valores maiores ou iguais a $4$. Sendo assim, o conjunto imagem da função é

$Im\left(f \right )=\left\{y \in \mathbb{R}\left|\,y\geq 4\right. \right \}$


ou usando a notação de intervalos para representar o conjunto imagem, temos

$Im\left(f \right )=\left[4,\,+\infty \right )$