Question

construa a matriz
gij= -3j +2i se i >_ J
-2j+3i        se i < J

Answer 1

Consideração e "explicação" curta:
> "i" representa  a linha e "j" representa a coluna.

Antes de qualquer coisa, é interessante montar a matriz genérica, que vai servir como "esqueleto" da matriz que queremos descobrir. Obs.: "genérico" se entende por algo que não se especifica, que se expressa por termos imprecisos ou vagos; sendo assim, a matriz genérica que eu citei, nada mais é do que um modo de fazer com que se encontre a matriz desejada de modo mais rápido e simples, através de elementos - vagos, que exclusivamente servem apenas para representação -  que simplesmente indicam a posição na qual estão.  


$\boxed{\boxed{G= \left[\begin{array}{cc}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}&g_{31}&g_{32}\\g_{41}&g_{42}\end{array}\right] _{4X2}}}$

Analisando essa matriz, pode-se observar os seguintes fatos:
- Ela possui quatro linhas

Como sei disso? Simples: para saber quantas linhas determinada matriz possui, basta que eu analise e veja, na horizontal, quantas linhas ela tem. Observe que se eu olhar para a matriz dada, verei que ela possui quatro linhas.

- Ela possui duas colunas.

Como sei disso, ora? Simples: a análise da quantidade de colunas é sempre feita na vertical. E analisando da vertical, observo que a matriz dada tem duas colunas.

          E, obviamente, a própria questão também indica o tipo da matriz, que é 4 x 2 - ou seja, possui quatro linhas e duas colunas, sendo que o primeiro número, quatro, indica a quantidade de linhas e o segundo número, dois, indica a quantidade de colunas. Mas como escreverei o tipo de uma matriz qualquer? A forma como se deve escrever o tipo de uma matriz é sempre essa: número de linhas x número de colunas. E para descobrir o número de linhas e colunas é só seguir as dicas que dei lá em cima, :d
           Info:
           Note que cada elemento dá informações sobre si mesmo, a exemplo do a₁₁. Ele indica que está  na linha um e na coluna um. Já o a₂₂ indica que está na linha dois e na coluna dois, assim como  o a₃₂ indica que está na linha três e na coluna dois. - o primeiro número indica a linha, e o segundo indica a coluna; mas quais números? Aqueles que ficam "meio que debaixo/ao lado" do " a ". Viu? Até coloquei em negrito

$\boxed{G_{ij}= \left \{ {{-3j+2i\ se\ i \ \geq \ j} \atop {-2^j+3i \ se\ i\ \ \textless \ \ j }} \right. }$

          Lembrando: "i" quer dizer "linha", e "j" quer dizer "coluna". Observe que o critério para descobrir os elementos da matriz são dados por essa "equaçãozinha" ali em cima; e também veja que preciso me concentrar no número de linhas e colunas do elemento determinado, que como já foi dito, é o primeiro número que está "meio que debaixo/ao lado" - a exemplo de a₁₁, e a₂₁  e a₃₁. Você percebeu? Coloquei em negrito o número que indica a linha na qual o elemento irá se encontrar.
          E ainda nisso, observe que essa "fórmula" dada pela questão é básica. Vamos interpretar tanto a linha de cima como a de baixo que foi posta. Vamos lá:
Obs: para você não se assustar, digo logo: escreverei, logo abaixo, como se eu fosse uma equação que fala, ok? :D

______________________________________________________________________________________________________________________________


$\boxed{-3j+2i\ se\ i \geq j}$ 

Análise ₁ : Olá, eu sou uma "formulazinha", e o que quero dizer é o seguinte: todas as vezes em que a linha na qual determinado elemento se localiza for maior ou igual à coluna, você me utilizará. Basicamente, você irá me utilizar para achar quase todos os elementos que compõem a matriz dada, *-* ; com exceção do g₁₂ . Vou te dar um exemplo: quando for encontrar que elemento está em g₂₂,  você, jovem humano, utilizará a mim, que sou, relembrando:  $\boxed{-3j+2i\ se\ i \geq j}$   Outro exemplo: quando for encontrar o elemento g₄₂, você também utilizará a mim, porque a lei que me guia neste mundo de números infinitos confere: a linha, que é 4, é maior que a coluna, que é 2. Entendeu?  Tchau. 



$\boxed{-2^j+3i\ se\ i\ \textless \ j}$

Análise ₂ : Olá, sou outra "formulazinha". Mas observe que você só me utilizará UMA ÚNICA VEZ, : (  --  estou triste. Veja que a única que vez que serei utilizada será no g₁₂. Mas por quê? Simples:  você vê que ali em cima tem i < j? Isso significa que eu somente serei utilizada quando a linha for menor que a coluna. E perceba que 1, que é linha, é menor que 2, que é coluna. 

          Com isso em mente:

Cálculo: 

$g_{11}=-3j+2i=-3*1+2*1=-3+2=-1 \\ g_{12}=-2^j+3i=-2^2+3*1=-4+3=-1 \\ g_{21}=-3j+2i=-3*2+2*1=-6+2=-4 \\ g_{22}=-3j+2i=-3*2+2*2=-6+4=-2 \\ g_{31}=-3j+2i=-3*3+2*1=-9+2=-7 \\ g_{32}=-3j+2i=-3*3+2*2=-9+4=-5 \\ g_{41}=-3j+2i=-3*4+2*1=-12+2=-10 \\ g_{42}=-3j+2i=-3*4+2*2=-12+4=-8$

Agora que já se possui o valor de cada elemento, basta substituir na matriz genérica - e assim que eu substituir, encontrarei a matriz desejada.

$\boxed{\boxed{\boxed{G= \left[\begin{array}{cc}-1&-1\\-4&-2&-7&-5\\-10&-8\end{array}\right] _{4X2}}}}$