Question

Consideremos o seguinte produto interno em P2:

p.q = a2.b2+a1.b1+a0.b0

sendo p = a2.x2 + a1.x + a0 e

q = b2.x2 + b1.x + b0.

Dados os vetores

p1 = x2 − 2x + 3,

p2 = 3x − 4 e

p3 = 1 − x2, calcular:

A) p1.p2

B) |p1| + |p2|

C) Cosseno do ângulo entre p2 e p1

Answer 1

1. Usando o produto interno dado, temos:

$\mathsf{p_{1} \bullet \ p_{2} = 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) = 0 -6-12= -18}$

2.

$\mathsf{|p_1| + |p_2| = \sqrt{p_1 \bullet p_1} + \sqrt{p_2 \bullet p_2}=}\\</p><p>\mathsf{= \sqrt{1^2 +(-2)^2+3^2} + \sqrt{3^2 +(-4)^2}=}\\ \mathsf{=\sqrt{1+4+9}+\sqrt{9+16}= }\\ \mathsf{=\sqrt{14}+ \sqrt{25}=5+ \sqrt{14}}$

3. Seja $\mathsf{\theta}$ o ângulo entre $\mathsf{p_1}$ e $\mathsf{p_2.}$ Este ângulo pode ser determinado pela seguinte fórmula:

$\fbox{\fbox{\mathsf{ \theta = \arccos \left( \dfrac{p_1 \bullet p_2}{ |p_1| \cdot |p_2|} \right)}}}$

Daí, usando os cálculos já feitos nas questões 1. e 2., segue que:

$\mathsf{\theta= \arccos \left( \dfrac{-18}{5 \sqrt{14}}\right)}$

Logo, o cosseno do ângulo entre os vetores $\mathsf{p_1}$ e $\mathsf{p_2.}$ é $\mathsf{\cos \theta =\left( \dfrac{-18}{5 \sqrt{14}}\right).}$