Question

Consideremos a
arrecadação de tributos de uma determinada cidade, sendo que esta segue uma
distribuição normal com duração média de R$ 70.000,00 e desvio padrão de R$
4000,00. Calcule o que se pede.

Qual a probabilidade de
uma arrecadação ser maior do que R$ 80.000,00? Faça um desenho esquemático da
Curva de Distribuição Normal. 

Answer 1

Olá, Juliana.

A probabilidade de uma variável aleatória $X$ com distribuição normal de média  $\mu$ e desvio-padrão $\sigma$ estar entre dois valores $x_1$ e $x_2$ é calculada da seguinte forma: 

$P(x_1\leq\,X\leq\,x_2)=\int\limits^{x_2}_{x_1}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\,dx$

Como o cálculo desta integral é complexo (obtido apenas através de métodos computacionais numéricos), utiliza-se uma tabela de valores da distribuição normal padrão, onde:
 
$\begin{cases}\mu=0\\\sigma=1\end{cases}$

Para que a tabela da normal padrão possa ser utilizada, devemos fazer a seguinte transformação na variável $X:$

$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$

Esta nova variável $Z$ tem distribuição normal padrão.

O exercício pede para que calculemos:

$P(X\geq80000)=1-P(X\leq80000)=\\\\ =1-P(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq\frac{80000-\mu}{\sigma})=1-P(Z\leq\frac{80000-\mu}{\sigma})$

No exercício são dados:

$\begin{cases}\mu=70000\,cm\\\sigma=4000\,cm\end{cases}\Rightarrow\\\\\\1-P(Z \leq\frac{80000-70000}{4000})=1-P(Z\leq\frac{10000}{4000})=1-P(Z\leq2,5)$

Na tabela da normal padrão, em anexo, encontramos o seguinte valor:

$P(Z\leq2,5)=0,9938$

Assim:
 
$1-P(Z\leq2,5)=1-0,9938=0,0062=\boxed{0,62\%}$

A probabilidade de que a arrecadação tributária seja maior que R$ 80.000,00 é, portanto, de apenas 0,62%.

O desenho esquemático da distribuição normal desta arrecadação tributária está em anexo. Observe, no desenho, que o valor mais provável de ocorrer é a média, R$ 70.000 (abscissa do máximo da curva), e que um valor muito acima de R$ 74.000,00 (média mais o desvio-padrão de R$ 4.000,00), como é o caso aqui (R$ 80.000,00), é quase improvável de ocorrer. Isto explica a probabilidade que encontramos de apenas 0,62%.

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