Question

Considerem-se a sequência numérica A = (1,3, an,...) — tal que, para valores inteiros positivos de n, an = n^'1^ — e a progressão aritmética B = (1,4, 28). Sobre essas sequências, é correto afirmar: (01) A sequência A é uma progressão geométrica. (02) A sequência B tem dez termos. (04) Existem apenas três termos comuns às duas sequências. (08) Os termos x e y da progressão geométrica crescente x, a3, y, b9 -1 são tais que x+y=15. (16) Os termos da sequência C = (cn), em que cn=a2n-2am são quadrados perfeitos. (32) Utilizando-se algarismos do subconjunto {a1, a2 , a3} da sequência A, podem-se formar 12 números naturais primos, sem algarismos repetidos. (64) Existe um par de elementos da sequência B que pode ser excluído, sem alterar a sua média aritmética.

Answer 1

Olá.

 

Antes de começar a analisar as assertivas, desenvolvo as sequências dadas pelo enunciado.

 

Supondo que a sequência A tenha 7 termos, podemos encontrar a partir da fórmula dada. Para garantir, utilizo a fórmula até nos dois primeiros que foram dados. Vamos aos cálculos.

 

$\begin{cases} a_1=&\dfrac{1(1+1)}{2}=\dfrac{1(2)}{2}=\dfrac{2}{2}=1\\\\\\ a_2=&\dfrac{2(2+1)}{2}=\dfrac{2(3)}{2}=\dfrac{6}{2}=3\\\\\\ a_3=&\dfrac{3(3+1)}{2}=\dfrac{3(4)}{2}=\dfrac{12}{2}=6\\\\\\ a_4=&\dfrac{4(4+1)}{2}=\dfrac{4(5)}{2}=\dfrac{20}{2}=10\\\\\\ a_5=&\dfrac{5(5+1)}{2}=\dfrac{5(6)}{2}=\dfrac{30}{2}=15\\\\\\ a_6=&\dfrac{6(6+1)}{2}=\dfrac{6(7)}{2}=\dfrac{42}{2}=21\\\\\\ a_7=&\dfrac{7(7+1)}{2}=\dfrac{7(8)}{2}=\dfrac{56}{2}=28 \end{cases}$

 

Com isso, temos a seguinte sequência:

 

$\mathsf{A=\left(1,3,6,10,15\right)}$

 

Foi-nos dado que a segunda sequência é um progressão aritmética. Como a razão de uma P.A é a diferença entre um termo e seu antecessor, podemos afirmar que a razão é 3. Vamos ao cálculo de um termo geral/fórmula.

 

$\mathsf{_n=b_1+(n-1)\cdot r}\\\\ \mathsf{b_n=1+(n-1)\cdot3}\\\\ \mathsf{b_n=1+3n-3}\\\\ \mathsf{b_n=3n-2}$

 

Também, podemos calcular os termos dessa sequência somando 3 no número antecedente. Vamos aos cálculos pela primeira forma.

 

$\begin{cases} b_1=&3(1)-2=3-2=1\\\\ b_2=&3(2)-2=6-2=4\\\\ b_3=&3(3)-2=9-2=7\\\\ b_4=&3(4)-2=12-2=10\\\\ b_5=&3(5)-2=15-2=13\\\\ b_6=&3(6)-2=18-2=16\\\\ b_7=&3(7)-2=21-2=19\\\\ b_8=&3(8)-2=24-2=22\\\\ b_9=&3(9)-2=27-2=25\\\\ b_{10}=&3(10)-2=30-2=28 \end{cases}$

 

Com isso, temos a seguinte sequência:

 

$\mathsf{B=\left(1,4,7,10,13,16,19,22,25,28\right)}$

 

Agora, vamos à análise. Transcrevo as assertivas, justificando-as adequadamente.

 

- (01) A sequência A é uma progressão geométrica.

Incorreto. A razão da progressão não se enquadra nos conceitos padrões de progressão geométrica nem de progressão aritmética (mesmo que se aproxime mais dessa última).

 

- (02) A sequência B tem dez termos.

Correto. Como foi mostrado acima, são exatamente 10 termos.

Caso não queira fazer da maneira que fiz, pode usar apenas o termo geral, igualando-o por 28. Demonstro os cálculos.

 

$b_n=3n-2\\\\ 28=3n-2\\\\ 28+2=3n\\\\ 30=3n\\\\ \dfrac{30}{3}=n\\\\ \boxed{10=n}$

 

Os dois métodos são válidos, sendo esse último mais rápido.

 

- (04) Existem apenas três termos comuns às duas sequências.

Correto. Com base nos termos mostrados no início, podemos afirmar que a interseção entre os conjuntos é: { 1, 4, 28 }.

- (08) Os termos x e y da progressão geométrica crescente x, a₃, y, b₉ -1 são tais que x + y=15.

Correto.

Temos a sequência:

 

$\begin{array}{rcccccc} \mathsf{S=}&\{&\mathsf{s_1}&\mathsf{s_2}&\mathsf{s_3}&\mathsf{s_4}&\}\\\\ \mathsf{S=}&\{&\mathsf{x}&\mathsf{a_3}&\mathsf{y}&\mathsf{b_9-1}&\}\\\\ \end{array}$

 

Para descobrir o valor de x e y, primeiro temos que descobrir a razão (q) dessa P.G crescente. Como conhecemos apenas o 2° e o 4° termo, podemos definir a razão da seguinte maneira:

 

$\mathsf{q=\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{a_4}{a_2\cdot q}}$

 

Substituindo valores, vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{q=\dfrac{a_4}{a_2\cdot q}}\\\\\\ \mathsf{q=\dfrac{b_9-1}{a_3\cdot q}}\\\\\\ \mathsf{q=\dfrac{25-1}{6\cdot q}}\\\\\\ \mathsf{q=\dfrac{24}{6q}}\\\\\\ \mathsf{q\cdot6q=24}\\\\\\ \mathsf{6q^2=24}\\\\\\ \mathsf{q^2=\dfrac{24}{6}}\\\\ \mathsf{q^2=4}\\\\ \mathsf{q=\sqrt{4}}\\\\ \mathsf{q=\pm2}$

 

Como a PG é crescente, a razão deve ser positiva. Com isso, podemos concluir que q = 2. Sabendo a razão podemos descobrir os termos a partir de divisões básicas.

 

$\begin{cases} \mathsf{s_1=x=}&\mathsf{3}\\\\ \mathsf{s_2=a_3=}&\mathsf{6}\\\\ \mathsf{s_3=y=}&\mathsf{12}\\\\ \mathsf{s_4=b_9-1=}&\mathsf{24} \end{cases}$

 

Somando x e y, teremos:

 

x + y = 15.

3 + 12 = 15

 

Podemos concluir que essa assertiva está correta.

 

- (16) Os termos da sequência C = (cₙ), em que cₙ = a₂ₙ-2aₙ, são quadrados perfeitos.

Correto.

 

Vamos desenvolver o termo geral.

 

$\mathsf{c_n=a_{2n}-2a_n}\\\\ \mathsf{c_n=\left[\dfrac{2n(2n+1)}{2}\right]-2\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{c_n=\left[\dfrac{4n^2+2n}{2}\right]-2\left(\dfrac{n^2+n}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{c_n=2n^2+n-n^2+n}\\\\\\ \mathsf{c_n=2n^2-n^2+n+n}\\\\\\ \boxed{\mathsf{c_n=n^2}}$

 

Todos os termos serão quadrados perfeitos, já que seu termo geral é n².

 

(32) Utilizando-se algarismos do subconjunto {a₁, a₂ , a₃} da sequência A, podem-se formar 12 números naturais primos, sem algarismos repetidos.

Incorreto. 

A quantidade de termo refere-se a um arranjo com 3 valores, que é representado por 3!.

3! = 3 * 2 * 1 = 6

Logo, não seriam 12, mas 6 números a serem formados. Além disso, a maior possibilidade é que não sejam primos.

           

(64) Existe um par de elementos da sequência B que pode ser excluído, sem alterar a sua média aritmética.

Correto, mas existe mais de um par.

 

( Continuação em anexo ... )

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$