Considere V=R4, espaço vetorial com operações usuais, e u=(2,1,0,1), v=(0,1,3,3), e w=(2,0,−1,0) elementos de V.
(a) Encontre W=[{u,v}], o subespaço vetorial gerado por u e v.
(b) Verifique se w∈W.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
2.....1.......0.......1
0.....1.......3.......3 ~
x.....y.......z.......w escalona essa matriz.
2.........1..........0.........1
0..........1.........3........3 ~
0...-2y+x......-2z......-2w+x
2.........1..........0.........1
0..........1.........3........3 ~
0...-2y+x......-2z......-2w+x
2.............1................0.........1
0.............1................3........3 ~
0.............0.....6y-3x -2z..6y-3x-2w+x
2.............1................0.........1
0.............1................3........3 ~
0.............0.....6y-3x -2z..6y-2x-2w
O posto de
2.....1.......0.......1
0.....1.......3.......3
é 2. Logo o posto de
2.............1................0.........1
0.............1................3........3 ~
0.............0.....6y-3x -2z..6y-2x-2w
também tem que ser 2. E para isso acontecer temos que ter:
{6y-3x -2z =0
{6y-2x-2w = 0, tirando a primeira da segunda fica:
____________
x -2w + 2z = 0
x = 2w - 2z
6y-3x -2z =0
6y-3(2w - 2z) -2z =0
6y - 6w +6z - 2z = 0
6y - 6w +4z = 0
y = (6w - 4z)/6
y = (3w - 2z)/3
Os vetores de V tem a forma (2w-2z, (3w - 2z)/3, z, w).
Logo W = {(2w-2z, (3w - 2z)/3, z, w)}.
w não pertence a W, pois quando fazemos [3.0 - 2.(-1)]/3 encontramos 2/3 e para pertencer tínhamos que ter encontrado y = 0, uma veze que w = (2,0,-1,0).