Question

Considere uma variável X que representa os diametros do parafuso produzidos por certa máquina. Suponha que essa variável tenha distribuição normal com média 02 cm e desvio padrão 0,04cm. Determine a probabilidade de um parafuso ter um diametro entre 2 e 2.05?

Answer 1

A probabilidade de uma variável aleatória $X$ com distribuição normal de média  $\mu$   e desvio-padrão   $\sigma$   estar entre dois valores   $x_1$   e   $x_2$   é calculada da seguinte forma:

$P(x_1<=X<=x_2)=\int\limits^{x_2}_{x_1}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx$

Como o cálculo desta integral é complexo (obtido apenas através de métodos computacionais numéricos), utiliza-se uma tabela de valores da distribuição normal padrão, onde:

$\begin{cases} \mu=0\\ \sigma=1 \end{cases}$

Para que a tabela da normal padrão possa ser utilizada, devemos fazer a seguinte transformação na variável  $X:$

$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$

Esta nova variável $Z$ tem distribuição normal padrão.

O exercício pede para que calculemos:

$P(2 \leq X \leq 2,05)=P(\frac{2-\mu}{\sigma}\leq \frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{2,05-\mu}{\sigma})=$

$P(\frac{2-\mu}{\sigma}\leq Z \leq \frac{2,05-\mu}{\sigma})$

No exercício são dados:

$\begin{cases} \mu=2\ cm\\ \sigma=0,04\ cm \end{cases} \Rightarrow P(0 \leq Z \leq\frac{0,05}{0,04}=1,25)=$

$=P(Z\leq1,25)-P(Z\leq0)$

Na tabela da normal padrão, em anexo, encontramos os valores:

$P(Z\leq0)=P(Z<0) = 0,5\text$

$P(Z\leq1,25) = P(Z<1,25) = 0,8944\text$

Portanto: 

P(Z < 1,25) - P(Z < 0) = 0,8944 - 0,5 = 0,3944 = 39,44%

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