Question

Considere uma sequencia de quadrados Q1, Q2,..., Q10 de modo que a área de cada quadrado, a partir do segundo, seja o dobro da área do quadrado anterior.

a-) Determine a medida da diagonal de Q4, sabendo que o perímetro de Q6 é de 16√2 cm .
Gabarito: 4cm

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Srtwalker, que esta está bem simples.
Tem-se que o perímetro do quadrado Q₆ = 16√(2).

i) Ora, como o perímetro do quadrado  Q₆ = 16√(2) então cada lado (L₆) do quadrado Q₆ medirá:

L₆ = 16√(2)/4
L₆ = 4√(2) <--- Esta é a medida de cada lado do quadrado Q₆.

ii) Assim, a área (A₆) do quadrado Q₆ será:

(L₆)² = [4√(2)]²
(L₆)² = 16*2
(L₆)² = 32 cm² <--- Esta é a área do quadrado Q₆.

iii) Assim, para chegarmos à área do quadrado Q₄, basta dividirmos a área de Q₆ por "4", pois cada área dos quadrados, a partir do 2º, é o dobro da área do quadrado anterior. Então, chamando a área do quadrado Q₄ de (L₄)², teremos:

(L₄)² = 32/4
(L₄)² = 8 cm² <--- Esta é a área do quadrado Q₄.

iv) Ora se a área do quadrado Q₄ = 8 cm² , então o seu lado medirá::

(L₄)² = 8
L₄ =  ± √(8) ----- como √(8) = 2√(2), teremos;
L₄ =  ± 2√(2) cm  ----- como a medida do lado não é negativa, então tomaremos apenas a medida positiva e igual a:

L₄ = 2√(2) cm <--- Esta é a medida do lado do quadrado Q₄.

v) Finalmente, vamos para a medida da diagonal (D₄) do quadrado Q₄. Note que a diagonal de qualquer quadrado, quando traçada, é a hipotenusa de um triângulo retângulo, cujos catetos são os seus lados. E como já vimos que cada lado do quadrado Q₄ mede 2√(2) cm, então a diagonal será (aplicando Pitágoras):

(D₄)² = [2√(2)]² + 2√(2)]²
(D₄)² = 4*2 + 4*2
(D₄)² = 8 + 8
(D₄)² = 16
D₄ = ± √((16) ---- Como √(16) = 4, teremos;
D₄ = ± 4 ---- mas como a medida da diagonal não é negativa,a então tomaremos apenas a medida positiva e igual a:

D₄ = 4 cm <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a medida pedida da diagonal do quadrado Q₄.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.