Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por a¹=1+x, a²=6x, a³=2x²+4, em que x é um número real.a) Determine os possíveis valores de X.b) Calcular a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item "a".
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) 5 e 1/2
b) 7575
Explicação passo-a-passo:
a)
Temos que:
a1=1+x, a2=6x, a3=2x²+4
Para ser uma PA, temos então que:
a3 - a2 = a2 - a1 = cte = r (razão da PA).
Logo:
2x²+4 - 6x = 6x - (1+x)
2x²+4 - 6x - 6x + (1+x) = 0
2x²+4 - 12x + 1 + x = 0
2x² - 11x + 5 = 0
x= (11 +/- raiz((-11)^2 - 4.2.5))/(2.2)
x= (11 +/- raiz(121 - 40))/4
x= (11 +/- raiz(81))/4
x= (11 +/- 9)/4
x'= (11+9)/4 = 5
x"= (11-9)/4 = 1/2
b)
Para x=1/2 temos que:
a1= 1 + 1/2 = 3/2
a2= 6.(1/3) = 3
a3= 2.(1/2)^2 + 4 = 1/2 + 4 = 9/2
Portanto:
9/2 - 3 = 3 - 3/2 = 3/2 = r
Como an= a1 + (n-1).r, temos que:
a100= a1 + (100 - 1).r
a100= 3/2 + 99.3/2
a100= (3/2).(1 + 99)
a100= (3/2). 100
a100= 3.50 = 150
Logo, a soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por:
Sn= ((a1 + an)/2).n
S100= ((a1 + a100)/2).100
S100= ((3/2 + 150)/2).100
S100= (3/2 + 150).50
S100= ((3 + 300)/2).50
S100= (303/2).50
S100= ((3 + 300)/2).50
S100= 303.25
S100= 7575
Blz?
Abs :)
Considerando a progressão aritmética, tem-se:
a) os possíveis valores de X são: 5 e 1/2.
b) a soma dos 100 primeiros termos é igual a 7575
Progressão aritmética
Dizemos que algo está em progressão aritmética quando a diferença entre os números é uma razão constante.
Exemplo
- 2, 4, 6, 8 está em progressão aritmética, pois a cada número se aumenta 2.
- Com isso, a razão é igual a 2
A fórmula do termo geral da progressão aritmética (PA):
- An = A1 + (n - 1) * r
Em que:
- An = termo que queremos calcular
- A1 = primeiro termo da PA
- n = posição do termo que queremos descobrir
- r = razão
A questão nos diz que os três primeiros termos da P.A. são:
- A1 = 1 + x
- A2 = 6x
- A3 = 2x² + 4
Com isso, vamos responder cada alternativa.
a) possíveis valores de X
Como temos que ter uma razão constante para ser uma P.A., então:
- A3 - A2 = A2 - A1
Com isso:
2x² + 4 - 6x = 6x - (1 + x)
2x² + 4 - 6x - 6x + (1 + x) = 0
2x² + 4 - 12x + 1 + x = 0
2x² - 11x + 5 = 0
Calculando por Bháskara, fica:
x = - (b) ± √Δ / 2 * a
x = - (- 11) ± √(-11)² - 4 * 2 * 5 / 2 * 2
x = 11 ± √81 / 4
x' = 11 + 9 / 4 = 5
x'' = 11 - 9 / 4 = 1/2
Portanto, os possíveis valores de X são: 5 e 1/2.
b) Soma dos 100 primeiros termos com o menor valor de x
Como o menor valor de X encontrado foi 1/2, então:
A1 = 1 + x
A1 = 1 + 1/2
A1 = 3/2
Com isso, vamos utilizar a fórmula da soma dos termos:
Sn = ( A1 + An) * n / 2
S100 = (A1 + A100) * 100 / 2
S100 = (3/2 + 150) * 100 / 2
S100 = (3/2 + 150) * 50
S100 = 7575
Portanto, a soma dos 100 primeiros termos é igual a 7575
Aprenda mais sobre Progressão Aritmética em: brainly.com.br/tarefa/10404134
#SPJ2
