Question

Considere uma progressão aritmética crescente de cinco termos, na qual o produto do primeiro com o quinto termo é 45, e a soma dos outros três termos é 27. Dado que o segundo e quarto termos dessa progressão aritmética são, respectivamente, o primeiro e o segundo termos de uma progressão geométrica, é possível afirmar, corretamente, que o décimo termo da progressão geométrica assim definida vale

Answer 1

a1 * a5 = 45
a2 + a3 + a4 = 27

(a1 + r )  + ( a1 + 2r) + ( a1 + 3r ) = 27
3a1 + 6r  = 27   ( por 3 )
a1 + 2r = 9 ***
a1 = 9 - 2r ****

a1 * ( a1 + 4r ) = 45   substituindo a1 por 9 - 2r 
( 9 - 2r) [ ( 9 - 2r )+ 4r ] = 45
( 9 - 2r ) * ( 9 + 2r)  = 45
[ (9)²  - (2r)² ]  = 45
81 - 4r² - 45 = 0
- 4r²  + 36 = 0  ( - 1)
4r² - 36 = 0 por4
r² - 9 = 0
r² = 9
Vr² = +-V9
r = +- 3 ***
a1 = 9 - 2r
a1 = 9 - 2 (+3)  = 9 -6 =  3 **** ou   9 - 2 ( -3)  = 9 + 6 = 15 ***
Os termos da PA  são

a1 = 3
a2 = 3 + 3  = 6
a3 = 6 + 3 = 9
a4 = 9 + 3 = 12
q = 6/3 = 2 ***
Para r = -3 a PA será [ 15,12,9,6,3 ]
o a2 e a4 da PA  =  a1 e a2  da PG
PA           PG
a1 = 3 ***
r = 3
a1 + r  =  a1    ou    3 + 3  = a1   ou a1 da PG  = 6 ***
a1 + 3r = a1q  ou   3 + 3 (3) = a1q  ou   a1q = 3 + 9  ou a1q = 12 **
para    r  = -3  teremos
a1 = 12
a2 = 6
a3 = 3
q = 6/12 = 1/2 ***
Para q = 2 ***
a10   da PG   será  >>>  a1q⁹  = 3 * 2⁹ = 3 * 512  = 1 536 **** resposta 
Para  q = 1/2
a10 = a1q⁹  =  3 * ( 1/2)⁹  = 3 * ( 1/512 )  = 3/512  ****  resposta

Answer 2

O décimo termo da progressão geométrica é 3072.

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• De acordo com o enunciado, a1 . a5 = 45 e a2 + a3 + a4 = 27;
• Os dois primeiros da PG são a2 e a4;

Com essas informações,  escrevendo os três termos do meio como função do primeiro termo e da razão, temos:

a1 + r + a1 + 2.r + a1 + 3.r = 27

3.a1 + 6.r = 27

a1 = 9 - 2r

a1.(a1 + 4.r) = 45

(9 - 2r)(9 - 2r + 4r) = 45

9² - (2r)² = 45

4r² = 81 - 45

r² = 9

r = 3 (não considera -3 pois a PA é crescente)

Os termos da PA são (3, 6, 9, 12, 15). Os dois primeiros termos da PG são 6 e 12, logo, a razão da PG é 2. O décimo termo será:

a10 = 6.2^(10 - 1)

a10 = 3072

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