Question

Considere uma pirâmide reta cuja base é um quadrado de lado 16 cm e cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Uma formiga posicionada inicialmente num dos vértices do quadrado da base vai escalar a pirâmide. Ela inicia sua trajetória de maneira retilínea sobre uma das faces triangulares adjacentes ao vértice em que está, indo diretamente ao ponto médio do lado oposto, subindo assim metade da altura total a que irá se elevar. Como está cansada, caminha até o ponto médio do outro lado (não pertencente à base) sobre o triângulo adjacente ao que acabou de percorrer, mantendo-se no mesmo nível de altura. No triângulo seguinte, ela caminha de maneira retilínea até o ponto da outra aresta (não pertencente à base) cuja altura é três quartos da altura da pirâmide. Mantém-se nesse nível de altura durante sua caminhada no triângulo seguinte e chega a um ponto sobre a mesma aresta do ponto onde começou, pela qual sobe diretamente até o vértice superior da pirâmide. Em toda sua caminhada, a formiga andou:

Answer 1

A formiga andou:

(12√3 + 16) cm

Como a pirâmide tem base quadrada e os triângulos das laterais são equiláteros, todas as arestas têm a mesma medida: 16 cm.

1° movimento (de B a M)

Por Pitágoras, temos:

(BC)² = (BM)² + (MC)²

16² = BM² + 8²

BM² = 16² - 8²

BM² = (16 + 8).(16 - 8)

BM² = 24.8

BM² = 192

BM = √192

BM = 8√3

2° movimento (de M a F)

Pelo teorema da base média do triângulo, esse segmento tem metade do segmento CD.

MF = CD/2

MF = 16/2

MF = 8

3° movimento (de F a G)

Por Pitágoras, temos:

(AF)² = (GA)² + (FG)²

8² = 4² + FG²

FG² = 8² - 4²

FG² = (8 + 4).(8 - 4)

FG² = 12.4

FG² = 48

FG = √48

FG = 4√3

4° movimento (de G a H)

Pelo teorema da base média do triângulo, temos:

GH = 8/2

GH = 4

5° movimento (de H a A)

HA = 4

Total percorrido:

8√3 + 8 + 4√3 + 4 + 4 = (12√3 + 16) cm