Question

Considere uma pirâmide P cuja base seja um polígono
regular e cuja projeção ortogonal do vértice sobre o
plano da base seja o centro desse polígono.
Considere, ainda, que a natureza dessa pirâmide seja
tal que a soma dos ângulos de todas as suas faces
seja 12 retos; a área da sua base seja 20 cm² e sua
altura seja 2 cm.
A área lateral dessa pirâmide, em cm², medirá

Answer 1

Temos uma pirâmide, então suas faces laterais serão triângulos.
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono regular
convexo é igual a 180(n-2), onde "n" é o número de lados.
Sendo "x" o número de lados da base da pirâmide e como a
soma das medidas dos ângulos internos de todas as
faces é 12 retos = 12 . 90°= 1080°, devemos ter:
x . 180° + (x – 2) . 180° = 1080
180x + 180x -360 = 1080
360x -360 = 1080
360(x-1) =1080
x-1=1080/360
x-1=3
x=4

A base da pirâmide tem 4 lados ou seja é um quadrado de área A=20cm².
O lado "L" deste quadrado será:
A=L²
20=L²
L= $\sqrt{20}$

L=2 $\sqrt{5}$


A medida deste lado será também a medida da base de cada triangulo que compõem as faces laterais.
como h=2

Considere a aplicação de Pitágoras no triângulo retângulo cujos vértices sejam o centro da base "C", o vértice superior da pirâmide "V" e o ponto médio da base de uma das faces laterais "M"(ou o ponto médio de um dos lados da base).

O segmento VC=altura da pirâmide=2
O segmento CM=metade do lado da base
=$2 \sqrt{5}/2$ = $\sqrt{5}$

O segmento VM=altura de um dos  triângulos que compõem as faces laterais.
(VM)²=(VC)²+(CM)²
(VM)²=(2)²+ ( $\sqrt{5}$ )²
(VM)²=4+5
(VM)²=9
VM=3

A área lateral "AL" será 4 vezes a área de cada triângulo que formam suas faces laterais.
AL=4 . L . VM/2

AL=4 . 2. $\sqrt{5}$ . 3 /2

AL=12 $\sqrt{5}$ cm²