Question

Considere uma partícula movendo-se ao longo de uma reta com função de aceleração a(t) = 3t + 5(em m/s), com velocidade inicial v (0) = −3, no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 4 (em s). Encontre a velocidade no instante t e a distância percorrida durante o intervalo de tempo dado.

Answer 1

Utilizando definição de velocidade e aceleração temos que a função velocidade é:

$V(t)=\frac{3}{2}t^2+5t-3$

E o espaço percorrido é de 60 metros.

Explicação:

Então temos a equação para a aceleração:

$a(t)=3t+5$

Como aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, se integrarmos esta função em relação ao tempo, teremos a função velocidade. Então integrando indefinidamente:

$V(t)=\int 3t+5 dt$

$V(t)=\frac{3}{2}t^2+5t+V_o$

Onde Vo é uma constante de integração que representa a velocidade inicial, neste caso é V(0)=-3:

$V(t)=\frac{3}{2}t^2+5t-3$

Para encontrarmos a distancia percorrida durante todo este intervalo, basta integrarmos esta função velocidade, pois velocidade é a derivada do espaço pelo tempo, mas desta vez iremos integrar exatamente de 0 a 4, pois agora ele quer saber o valor preciso deste espaço neste intervalo, então:

$S=\int\limits^4_0 \frac{3}{2}t^2+5t-3 dt$

$S=[\frac{1}{2}t^3+\frac{5}{2}t^2-3t]\limits^4_0$

$S=[\frac{1}{2}4^3+\frac{5}{2}4^2-3.4]$

$S=[\frac{64}{2}+\frac{80}{2}-12]$

$S=[32+40-12]$

$S=60$

Então temos que esta particula percorreu 60 metros neste intervalo.