Question

Considere uma parábola de foco F e reta diretriz d. Denote por P um ponto pertencente à parábola e por D a sua projeção ortogonal na reta diretriz d.

Representando por r a reta bissetriz do ângulo FPD, avalie as seguintes afirmações:

I. A reta r é tangente à parábola no ponto P.

Porque:

II. Para qualquer ponto Q pertencente à reta r, com Q diferente de P, a distância de Q ao ponto D é maior que a distância de Q à reta d.



Indique se são verdadeiras ou falsas e se II justifica I.

Answer 1

I e II são verdadeiras e a II é a justificativa da I

Answer 2

Está correto o que se afirma em:

I) A reta r é tangente à parábola no ponto P;

II) Para qualquer ponto Q pertencente à reta r, com Q diferente de P, a distância de Q ao ponto D é maior que a distância de Q à reta d.

Projeção ortogonal

• Seja Q' a projeção ortogonal de Q em d. Portanto, os pontos Q, Q' e D formam um triângulo retângulo em Q'.

• Assim, QD é a hipotenusa do triângulo QQ'D. Então, QD > QQ' e QD > Q'D.

Sendo assim, a afirmação II é verdadeira. Além disso, o evento triângulo retângulo acontecerá para qualquer ponto Q ≠ P da reta r.

• Agora, supondo que a reta r é secante, então o ponto Q pertence à parábola. P e Q são pontos de intersecção da parábola com a reta r. Sendo r a bissetriz do ângulo FPD,  FPQ ≡  DPQ e, pela definição de parábola, FP ≡ PD.
• Além disso, os triângulos FPQ e DPQ compartilham o mesmo segmento PQ. Então, FPQ ≡ DPQ pelo caso LAL. Logo, podemos afirmar que FQ ≡ QD.

• É possível perceber que o segmento QQ' = FQ pela definição de parábola e QD = FQ pela semelhança de triângulos. Sendo assim, chega-se que QQ' = QD, o que é um absurdo, pois já é sabido que QD > QQ'.

Conclui-se, então, que a reta r intersecta a parábola apenas em um ponto p. Dessa forma, a afirmação I é verdadeira e justificada pela II.

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