Question

Considere uma loja que vende cinco tipos de
refrigerantes. De quantas formas diferentes
podemos comprar três refrigerantes desta loja?

Answer 1

Podemos comprar três refrigerantes desta loja de 35 maneiras diferentes.

Vamos supor que os cinco refrigerantes são a, b, c, d, e. Então, devemos resolver a equação a + b + c + d + e = 3, ou seja, encontrar as soluções inteiras não negativas.

Para isso, utilizaremos a seguinte fórmula:

• $Y = \frac{(n + m - 1)!}{m!(n - 1)!}$, sendo n a quantidade de incógnitas e m o resultado da soma.

Da equação montada, podemos afirmar que n = 5 e m = 3. Substituindo esses valores na fórmula acima, obtemos:

$Y = \frac{(5+3 - 1)!}{3!(5 - 1)!} = \frac{7!}{3!4!} = 35$.

Assim, concluímos que existem 35 maneiras diferentes de comprar os três refrigerantes.

Answer 2

Podemos comprar os refrigerantes da loja de 35 maneiras diferentes, o que torna correta a alternativa d).

Para resolvermos esse exercício, temos que aprender o que é combinação com repetição.

Em análise combinatória, a combinação com repetição é utilizada quando desejamos saber de quantas formas podemos agrupar um número k de elementos que pertencem a um conjunto com n elementos no total, sendo que os elementos desses agrupamentos podem ser repetidos.

Assim, temos que a fórmula da combinação com repetição é CR = (n + k - 1)!/(k!*(n - 1)!), onde n é o número de elementos do conjunto, e k é o número de elementos de cada agrupamento.

Substituindo os valores, com n = 5 e k = 3, pois existem 5 refrigerantes na loja e desejamos conjuntos com 3 refrigerantes, obtemos que CR = (5 + 3 - 1)!/(3!*(5-1)!) = 7!/(3!*4!). Simplificando 7!, podemos escrever esse valor como sendo 7 x 6 x 5 x 4!/(3!*4!). Assim, temos a expressão se torna 7 x 6 x 5/3!.

Por fim, temos que 7 x 6 x 5 = 210, e 3! = 3 x 2 x 1 = 6. Assim, 210/6 = 35.

Com isso, concluímos que podemos comprar os refrigerantes da loja de 35 maneiras diferentes, o que torna correta a alternativa d).

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