Question

Considere uma folha de plástico quadrada de lado igual a 20 cm. Como se deve cortar os cantos desta folha de modo a formar uma caixa sem tampa que contenha o maior volume de água possível, quando completamente cheia? Justifique suas ideias. Agora responda: Quais são as variáveis dependente e independente? Qual a expressão matemática que fornece o volume da caixa? Explique o domínio dessa função.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Seja x a medida dos lados dos quadrados cortados

A caixa terá dimensões $\sf (20-2x),~(20-2x)$ e $\sf x$

Seu volume será:

$\sf V(x)=(20-2x)\cdot(20-2x)\cdot x$

$\sf V(x)=(400-80x+4x^2)\cdot x$

$\sf V(x)=4x^3-80x^2+400x$

Derivando:

$\sf V'(x)=3\cdot4x^2-2\cdot80x+400$

$\sf V'(x)=12x^2-160x+400$

$\sf 12x^2-160x+400=0$

$\sf 3x^2-40x+100=0$

$\sf \Delta=(-40)^2-4\cdot3\cdot100$

$\sf \Delta=1600-1200$

$\sf \Delta=400$

$\sf x=\dfrac{-(-40)\pm\sqrt{1600}}{2\cdot3}=\dfrac{40\pm20}{6}$

$\sf x_1=\dfrac{40+20}{6}~\rightarrow~x_1=\dfrac{60}{6}~\rightarrow~\red{x_1=10}$ (não serve)

$\sf x_2=\dfrac{40-20}{6}~\rightarrow~x_2=\dfrac{20}{6}~\rightarrow~\green{x_2=\dfrac{10}{3}}$

Logo, para formar uma caixa com maior volume possível deve-se cortar quadradinhos de lado $\sf \dfrac{10}{3}~cm$ nos cantos da folha

A variável dependente é $\sf V(x)$, a Independente é $\sf x$

Devemos ter:

• $\sf x>0$

• $\sf 20-2x>0~\rightarrow~x<10$

O domínio é $\sf D(f)=\{x\in\mathbb{R}~|~0 < x < 10\}$