Question

Considere uma cápsula U descrita por U = {(x, y, z) ∈ R³ | 3x² + 3y² - 16 ≤ z ≤ 9 - x² - y²}. Calcule o volume da cápsula

Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Volume como Integral Dupla, concluímos que o volume da cápsula é  625π/8 u.v.

☛     O volume  $V$  de uma região  $U$  no espaço xyz delimitada pelas superfícies  $z_1$  e   $z_2$  é

$\boxed{V=\iint\nolimits_R z_{2} -z_{1} \ dxdy}$

♦︎     Em que  $R$  é a projeção ortogonal da região  $U$  no plano xy.

➜     O primeiro passo é esboçar a região de integração. Observe a Figura 1 em anexo.

• $z_1=3x^2+3y^2-16$  é um parabolóide elíptico com concavidade voltada pra cima;
• $z_2=9-x^2-y^2$  é um parabolóide elíptico com concavidade voltada pra baixo.

➜     O segundo passo é projetar a região no plano xy. Fazendo  

$z_1=z_2 \Longrightarrow 3x^2+3y^2-16=9-x^2-y^2$ , ou seja,

$4x^2+4y^2=25 \Longrightarrow x^2+y^2=(\frac{5}{2})^2$

♦︎     É a equação de um círculo centrado na origem e raio igual a 5/2 (Figura 2).

➜     O terceiro passo é usar as Coordenadas Cilíndricas. A transformação é

$T:\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \\z=z\\x^{2} +y^{2} =r^{2}\end{cases}$

♦︎     O Jacobiano da transformação é  $J=r$

♦︎     Assim,

1. A equação  $z=3x^2+3y^2-16$  converte-se em  $\boxed{z=3r^2-16}$ ;
2. A equação  $z=9-x^2-y^2$  converte-se em  $\boxed{z=9-r^2}$
3. A equação  $x^2+y^2=(\frac{5}{2})^2$  converte-se em  $r^2=(\frac{5}{2})^2 \Longrightarrow \boxed{r=5/2}$

➜     Portanto, a região  $U$  se deforma e vira a nova região  $U^*$ , definida por:

$U^{*} =\left\{( r,\theta ,z) ;\ 3r^{2} -16\leqslant z\leqslant 9-r^{2} ,0\leqslant r\leqslant 5/2,\ 0\leqslant \theta \leqslant 2\pi \right\}$

∴     O volume da cápsula

$\begin{array}{l}\displaystyle =\int _{\theta =0}^{2\pi }\int _{r=0}^{5/2}\left[ 9-r^{2} -\left( 3r^{2} -16\right)\right] rdrd\theta \\\\\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{5/2} -4r^{3} +25\ r\ drd\theta \\\\\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\left[ -r^{4} +\frac{25r^{2}}{2}\right]_{0}^{5/2} \ d\theta \\\\\displaystyle =\frac{625}{16}\int _{0}^{2\pi } d\theta \\\\\displaystyle =\frac{625}{16} \theta \Bigl|_{0}^{2\pi }\\\\\displaystyle =\frac{625\pi }{8}\end{array}$

∴     O volume da cápsula é  625π/8 u.v.  ✍️

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