Question

Considere uma bola chutada obliquamente a partir do solo no instante em que é acionado um cronômetro (t = 0), que a altura da bola (h) em função do tempo (t) varia de acordo com a função h(t) = 10.t – 5.t2, onde h está em metros (m) e t em segundos (s) e sabendo que a bola retorna ao solo, faça o que se pede nos comandos a seguir:

a) Em qual instante de tempo a bola atingiu a altura máxima após o lançamento?
b) Qual é o valor da altura máxima atingida pela bola?
c) Determine o conjunto Domínio e o conjunto Imagem para a função que representa esse movimento.

Answer 1

Como a função é do 2° grau, seu ponto máximo (ou mínimo) é chamado de vértice e pode ser calculado por:

$Vertice:~~(V_x~,~V_y)~=~\left(-\frac{b}{2a}~,\,-\frac{\Delta}{4a}\right)$

A altura máxima será dado pela coordenada "y" do vértice, enquanto que o instante no qual a altura máxima é atingida é dado pela coordenada "x" do vértice. Sendo assim, temos:

A)

$V_x~=\,-\frac{b}{2a}~=\,-\frac{10}{2~.~(-5)}~=~\frac{10}{10}~=~\boxed{1\,segundo}$

B)

$V_y~=\,-\frac{\Delta}{4a}~=\,-\frac{b^2-4ac}{4a}~=\,-\frac{10^2-4.(-5).0}{4~.~(-5)}~=~\frac{100}{20}~=~\boxed{5\,metros}$

C)

De forma simplificada, o domínio refere-se ao conjunto de "t's" que podemos utilizar na função h e a imagem, todos valores que a função pode assumir, ou seja, o conjunto de h(t)'s.

Assumindo-se que a bola não faça buracos no solo, sua altura mínima será de 0 metros.

Os pontos onde h(t) = 0 são, justamente, as raízes da equação do 2° grau.

Vamos, então calcular estas raízes:

$h(t)~=~0\\\\\\-5t^2+10t~=~0\\\\\\t.(-5t+10)~=~0\\\\\\\boxed{t'~=~0~segundos}\\\\\\-5t+10~=~0\\\\-5t~=~-10\\\\\boxed{t''~=~2~segundos}$

Sendo assim, podemos afirmar que a situação se restringe, no tempo, entre 0 e 2 segundos. Já a altura, estará restringida entre a altura mínima, 0 metros, e a altura máxima, 5 metros.

Organizando melhor, temos:

$Dominio:~t\,\in\,\Re\,/~0\le t\le2\\\\\\Imagem:~h(t)\,\in\,\Re~/~0\le h(t)\le5$