Question

Considere um triângulo equilátero cuja área é numericamente igual ao perímetro. A medida do apótema desse triângulo é _____ unidade(s) de comprimento. 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 

Answer 1

Se a área é igual ao perímetro, temos:
$A = \frac{l^2 \sqrt{3}}{4}$
$2P = 3l$
$\frac{l^2 \sqrt{3}}{4} = 3l$

como L ≠ 0, podemos cortá-los dos dois lados:

 $\frac{l \sqrt{3}}{4} = 3$
$l = \frac{3.4}{ \sqrt{3}}$

racionalizando:

$l = 4 \sqrt{3}$

Sendo o apótema (a) de um triangulo equilátero:

$a = \frac{l \sqrt{3}}{6}$
$a = \frac{(4 \sqrt{3}) \sqrt{3}}{6}$
$a = \frac{4.3}{6}$
$a = 2$

Answer 2

A alternativa A é a correta. O apótema do triângulo equilátero é igual a 1 u.c.

Podemos determinar o lado do triângulo equilátero a partir da igualdade do perímetro e da área do triângulo e a partir do lado determinar o apótema.

Perímetro do Triângulo Equilátero

Em um triângulo equilátero, todos os lados possuem a mesma medida. Assim, o perímetro de um triângulo equilátero de lado $l$ é dado por:

$\boxed{ P = 3 \cdot l }$

Área do Triângulo Equilátero

A área de um triângulo equilátero de lado $l$ é dada pela fórmula:

$\boxed{A = \dfrac{\sqrt{3} }{2} \cdot l^2 }$

Do enunciado, a área e o perímetro do triângulo são numericamente iguais. Assim, podemos igualar as fórmulas:

$3 l =\dfrac{\sqrt{3} }{2} \cdot l^2 \\\\\dfrac{\sqrt{3} }{2} \cdot l^2-3l=0$

Colocando $l$ em evidência:

$\dfrac{\sqrt{3} }{2} \cdot l^2-3l=0 \\\\l \cdot ( \dfrac{\sqrt{3} }{2}\cdot l -3 ) = 0$

Em um produto igual a zero, basta que um dos fatores seja igual a zero. Como o lado do triângulo não pode ser igual a zero $(l=0)$, podemos afirmar que:

$\dfrac{\sqrt{3} }{2}\cdot l -3 = 0 \\\\ \dfrac{\sqrt{3} }{2}\cdot l =3 \\\\l = \dfrac{2}{\sqrt{3} } \cdot 3\\\\l = \dfrac{2}{\sqrt{3} } \cdot 3 \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } \\\\\boxed{ l = 2\sqrt{3} \: u.c.}$

O lado do triângulo é igual a 2√3 u.c.

Apótema do Triângulo Retângulo

O apótema do triângulo retângulo pode ser calculado pela relação:

$\boxed{a = \dfrac{\sqrt{3} }{6} \cdot l }$

Substituindo o valor do lado do triângulo na fórmula:

$a = \dfrac{\sqrt{3} }{6} \cdot l \\\\a =\dfrac{\sqrt{3} }{6} \cdot 2\sqrt{3} \\\\a =\dfrac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} }{6} \\\\a =\dfrac{2 \cdot 3 }{6} \\\\\boxed{\boxed{a = 1 \: u.c.}}$

Assim, o comprimento do apótema do triângulo equilátero é de 1 u.c. A alternativa A é a correta.

Para saber mais sobre Triângulos Equiláteros, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/39316856

Espero ter ajudado, até a próxima :)

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