Question

considere um triangulo de catetos 5 cm e 12 cm.
sabendo-se que a altura relativa a hipotenusa divide esse triangulo em dois triângulos retângulos menores, então a área de cada um deles, em valores aproximadamente , sera de ?

Answer 1

A área do triângulo original (Ao) pode ser calculada considerando os seus catetos como base e altura e é igual a:

Ao = 5 cm × 12 cm ÷ 2

Ao = 30 cm²

A altura divide a hipotenusa (12 cm) em duas partes, as quais serão catetos dos dois triângulos resultantes da divisão feita pela altura, que será o cateto comum a estes dois triângulos, e eles poderão ser considerados como base e altura para o cálculo de suas áreas.
Então, para calcularmos a área destes dois triângulos, precisamos calcular a projeção dos catetos sobre a hipotenusa e a altura relativa a ela.

Para calcular a projeção dos catetos sobre a hipotenusa, precisamos calcular inicialmente a medida da hipotenusa, o que pode ser feito pelo Teorema de Pitágoras, pois conhecemos os dois catetos:

hipotenusa² = 5² + 12²
hipotenusa² = 25 + 144
hipotenusa = √169
hipotenusa = 13 cm

O maior dos triângulos resultantes da divisão feita pela altura, é semelhante ao triângulo original e, então, podemos escrever a proporção que existe entre eles:

hipotenusa/cateto maior = hipotenusa/cateto maior 

(no triângulo do segundo membro da igualdade acima, a hipotenusa é o cateto maior do triângulo original e o cateto maior é a projeção do cateto maior sobre a hipotenusa)

13/12 = 12/projeção do cateto maior
13/12 = 12/projeção do cateto maior
projeção do cateto maior = 12 × 12 ÷ 13
projeção do cateto maior = 11,08 cm

E, assim, a projeção do cateto menor sobre a hipotenusa é igual a:

13 cm - 11,08 cm = 1,92 cm

A altura do triângulo original (h) é a média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa:

h = √11,08 × 1,92

h = √21,2736

h = 4,61 cm, altura do triângulo retângulo original

Agora, podemos calcular as áreas dos triângulos resultantes da divisão feita pela altura:

triângulo maior:  

11,08 × 4,61 ÷ 2 = 25,54 cm²

triângulo menor:

30,00 cm ² - 25,54 cm² = 4,46 cm²

R.: A área dos triângulos será 24,54 cm² e 4,46 cm²