Question

Considere um triângulo ABC, retângulo em B, cuja hipotenusa mede 12 cm e o ângulo C mede 30°. Marca-se um ponto E entre B e C, de modo que o ângulo BÂE meça 45°, conforme ilustra a figura. Com base nessas informações, determine a medida do segmento EC. ​

Answer 1

Com base nos triângulos notáveis obtivemos que EC = 6(√3 - 1). A continuação, explicaremos em detalhes como chegamos a isso começando do mais básico:

Lembre-se dos seguintes triângulos notáveis:

   ⇒ 45° e 45°

• Têm catetos de medida "k" e hipotenusa "k√2"

   ⇒ 30° e 60°

• Cateto oposto a 30° mede "k"

• Cateto oposto a 60° mede "k√3"

• A hipotenusa mede "2k"

Com base nisso, no gráfico anexo a resolução do problema consiste no seguinte:

• O triângulo ABC é notável por 30° e 60°, portanto obtemos:

       $\text{AB = 12/2}\\\\\\\boldsymbol{\to AB=6}\\\\\\\boldsymbol{\to BC=6\sqrt{3} }$

• O triângulo ABE é notável por 45° e 45°, portanto obtemos:

       $\text{AB = BE}\\\\\\\boldsymbol{\to 6=BE}$

• Hallamos EC:

        $\text{EC = BC - BE}\\\\\\\text{EC = 6}\sqrt{3} - 6\\\\\\\to \boxed{\boldsymbol{EC = 6(\sqrt{3} - 1)}}$

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Answer 2

$\large \sf O \ segmento \ \overline {EC} \ mede \ (6 \sqrt {3}-6) \ cm.$

• Observe que se o triângulo ABE é retângulo e possui um ângulo de 45° então o ângulo AEB também mede 45°, pois 45° + 90° + 45° = 180°, portanto esse triângulo é isósceles e a medida do segmento BE é igual à medida do segmento BA.
• Aplique as razões trigonométricas do triângulo retângulo.
• Observe a figura anexa. No triângulo ABC:

$\large \sf sen \ 30^\textdegree = \dfrac{cateto \ oposto}{hipotenusa}$  ⟹ Substitua os valores.

$\large \sf \dfrac {1}{2} = \dfrac{a}{12}$

$\large \sf a = \dfrac{12}{2}$

a = 6 cm

• Novamente no triângulo ABC:

$\large \sf tg \ 30^\textdegree = \dfrac{cateto \ oposto}{cateto \ adjacente}$

$\large \sf tg \ 30^\textdegree = \dfrac{a}{a+x}$  ⟹ Substitua os valores.

$\large \sf \dfrac {\sqrt 3}{3} = \dfrac{6}{6+x}$

$\large \sf 6+x = \dfrac{3 \times 6}{\sqrt 3}$

$\large \sf 6+x = \dfrac{18}{\sqrt 3}$  ⟹ Racionalize o denominador.

$\large \sf 6+x = \dfrac{18}{\sqrt 3} \cdot \dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 3} = \dfrac{18\cdot \sqrt 3}{3}$

$\large \sf 6+x = 6 \sqrt 3$ ⟹ Subtraia 6 de ambos os membros.

$\large \sf x = 6 \sqrt {3}-6$

$\large \sf O \ segmento \ \overline {EC} \ mede \ (6 \sqrt {3}-6) \ cm.$

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