Question

Considere um cubo ABCDEFG cuja medida da aresta é a√2. Sejam M e N os pontos medios respectivamente de AB e AD. Calcular a área do quadrilátero EGMN

Answer 1

A área do quadrilátero EGMN é:

3√11

  4

Explicação:

Ligando os ponto M, N, E e G, formamos um trapézio isósceles.

Então, precisamos calcular a área desse quadrilátero.

A base maior (o segmento EG) é a diagonal do quadrado de lado √2. Logo:

EG = l√2

EG = √2·√2

EG = √4

EG = 2

A base menor (o segmento MN) é a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos medem √2/2. Logo:

MN² = (√2/2)² + (√2/2)²

MN² = 2/4 + 2/4

MN² = 4/4

MN² = 1

MN = √1

MN = 1

Agora, precisamos calcular a altura h.

Por Pitágoras, temos:

y² = √2² + (√2/2)²

y² = 2 + 2/4

y² = 10/4

x = EG - MN

           2

x = 2 - 1

       2

x = 1

     2

Logo:

h² = x² + y²

h² = (1/2)² + 10/4

h² = 1/4 + 10/4

h² = 11/4

h = √11/4

h = √11

       2

Portanto, a área do quadrilátero é:

A = (B + b).h

            2

A = (2 + 1).√11/2

               2

A = 3√11/2

          2

A = 3√11

        4