Question

Considere um cilindro reto de raio da base medindo 1/2m, cujo volume vale Vc é um prisma quadrangular regular reto de volume Vp, cuja aresta da base mede xm. Se ambos possuem altura 4m e a razão entre Vp e Vc vale 2/π, calcule o perímetro da base do prisma.
A) √2/2m. B) √10m C) 2√2m D) 10√2m
E) √2m

Answer 1

Olá.

Para responder essa pergunta, temos de usar duas fórmulas, que apresento abaixo:

$\mathsf{V_C=\pi\cdot r^2\cdot h}\\\\\mathsf{V_P=l^2\cdot h}$

Onde:

$\begin{array}{rl} \mathsf{V_C:}&\mathsf{volume~do~cilindro~reto;}\\ \mathsf{r:}&\mathsf{raio;}\\ \mathsf{h:}&\mathsf{altura;}\\ \mathsf{V_P:}&\mathsf{volume~do~prisma;}\\ \mathsf{l:}&\mathsf{lado~ou~aresta~do~prisma;} \end{array}$

Substituindo valor do raio por 1/2 e da altura por 4, vamos calcular o valor do volume do cilindro.

$\mathsf{V_C=\pi\cdot r^2\cdot h}\\\\ \mathsf{V_C=\pi\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\cdot4}\\\\\\ \mathsf{V_C=\pi\cdot\dfrac{1^2}{2^2}\cdot4}\\\\\\ \mathsf{V_C=\pi\cdot\dfrac{1}{4}\cdot4}\\\\\\ \mathsf{V_C=\dfrac{\pi\cdot4}{4}}\\\\\\ \mathsf{V_C=\dfrac{\pi\cdot\diagup\!\!\!\!4}{\diagup\!\!\!\!4}}\\\\ \mathsf{V_C=\pi}$

Substituindo valor do lado por x e da altura por 4, vamos calcular o valor do volume do prisma.

$\mathsf{V_P=l^2\cdot h}\\\\\mathsf{V_P=x^2\cdot4}$

A razão entre dois números representa a divisão entre eles. Logo, a razão entre Vp e Vc será:

$\mathsf{\dfrac{V_P}{V_C}=\dfrac{2}{\pi}}$

Substituindo pelos volumes que foram obtidos acima, vamos aos cálculos.

$\mathsf{\dfrac{V_P}{V_C}=\dfrac{2}{\pi}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(x^2\cdot4)}{\pi}=\dfrac{2}{\pi}}\\\\ \mathsf{x^2\cdot4\cdot\pi=\pi\cdot2}\\\\ \mathsf{x^2\cdot4\cdot\diagup\!\!\!\!\pi=\diagup\!\!\!\!\pi\cdot2}\\\\ \mathsf{x^2\cdot4=2}\\\\ \mathsf{x^2=\dfrac{2}{4}}\\\\\\ \mathsf{x=\pm\sqrt{\dfrac{2}{4}}}\\\\\\ \mathsf{x=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}}}\\\\\\ \mathsf{x=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

Como estamos tratando de figuras geométricas, o valor de x tem ser positivo, o que invalida a raíz negativa de x.

Tendo o valor do lado (x) podemos calcular o perímetro.

Por se tratar de uma base quadrangular, podemos afirmar que essa base é um quadrado, então, o perímetro será o valor do lado vezes 4. Teremos:

$\mathsf{P=x\cdot4}\\\\ \mathsf{P=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot4}\\\\\\ \mathsf{P=\dfrac{\sqrt{2}}{\diagup\!\!\!2}\cdot\diagup\!\!\!4}\\\\\\ \mathsf{P=\sqrt{2}\cdot2}\\\\ \boxed{\mathsf{P=2\sqrt{2}}}$

Podemos afirmar que a resposta correta está na alternativa C.

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$

Answer 2

Dados:

Cilindro Reto:

r = $\displaystyle \mathsf{\frac{1}{2} \: m}$
V = Vc
h = 4 m

Prisma Quadrangular Reto:

V = Vp
Aresta da base (a) = x m
h = 4 m

$\displaystyle \mathsf{\frac{V_p}{V_c} = \frac{2}{\pi}}$

Perímetro da base do prisma: ?

Cálculo:

Calculamos o volume dos dois sólidos:

Volume do Cilindro:

$\displaystyle \mathsf{V = \pi r^2.h}\\ \\ \displaystyle \mathsf{V_c = \pi\: . \left (\frac{1}{2} \right )^2.\:4 }\\ \\ \displaystyle \mathsf{V_c = \pi \: . \: \frac{1}{4}. \: 4 }\\ \\ \displaystyle \mathsf{V_c = \frac{4\pi}{4}}\\ \\ \displaystyle \mathsf{V_c = \pi}$

Volume do Prisma Quadrangular:

$\displaystyle \mathsf{V = a^2.h}\\ \displaystyle \mathsf{V_p = x^2.4}\\ \displaystyle \mathsf{V_p = 4x^2}$

Descobrimos a medida da aresta da base do prisma:

$\displaystyle \mathsf{\frac{V_p}{V_c} = \frac{2}{\pi}}\\ \\ \\ \displaystyle \mathsf{V_c = \pi}\\ \displaystyle \mathsf{V_p = 4x^2}\\ \\ \\ \displaystyle \mathsf{\frac{4x^2}{\pi} = \frac{2}{\pi}}\\ \\ \displaystyle \mathsf{4x^2\pi = 2 \pi}\\ \displaystyle \mathsf{4x^2 = 2}\\ \\ \displaystyle \mathsf{x^2 = \frac{2 \: \div \: 2}{4 \: \div \: 2}}\\ \\ \displaystyle \mathsf{x^2 = \frac{1}{2}}\\ \\ \displaystyle \mathsf{x = \sqrt{\frac{1}{2}}}$
$\displaystyle \mathsf{x = \frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}\\ \\ \displaystyle \boxed{\mathsf{x = \frac{\sqrt{2}}{2}\: m}}$

Agora calculamos o perímetro da base do prisma:

Obs: Por se tratar de um prisma de base quadrangular, o perímetro pode ser calculado multiplicando o valor da aresta por quatro.

$\displaystyle \mathsf{P = 4.a}\\ \\ \displaystyle \mathsf{a = \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ \\ \displaystyle \mathsf{P = 4.\frac{\sqrt{2}}{2}}\\ \\ \displaystyle \mathsf{P = 2 \sqrt{2} \: m}$

Resposta: Alternativa "c".