Question

Considere um cilindro de comprimento igual a 200 m e raio de 16,6 cm, com densidade volumétrica de carga de 207 . 10-12 C/m³. Determine o campo elétrico em uma região equidistante das extremidades do fio a uma distância radial de 7,84 cm do eixo do cilindro

Answer 1

Para resolver esse problemas nós podemos usar a chamada Lei de Gauss para isso. Na imagem anexada temos uma diagrama de como o cilindro se parece visto frontalmente.

O eixo do cilindro é perpendicular à tela, é representado pelo ponto no centro.

Temos o círculo maior que é o nosso cilindro. Ele tem raio R = 16,6 cm.

O círculo menor tracejado é a nossa superfície gaussiana. É uma superfície cilíndrica imaginária dentro do nosso cilindro. Ela tem raio r = 7,84 cm.

Ela é toda a região clara da figura.

As setas representam as linhas do campo elétrico que atravessa essa superfície.

Pela geometria do problema elas são radiais.

Perceba que estamos considerando um ponto dentro do cilindro.

Nós podemos usar a lei da Gauss justamente por causa dessa simetria e, principalmente, porque a distância r considerada é muito menor que o comprimento do cilindro.

A lei de Gauss nos diz que:

$\displaystyle{ \Phi _E = \oint \vec E \cdot d \vec A =\frac{Q}{\epsilon_0}}$

Não se assuste com a notação. A fórmula nos diz que basicamente, o fluxo do campo elétrico através da nossa superfície é igual à carga contida dentro dividida pela constante épsilon zero.

O fluxo é justamente essa linhas desenhadas na figura. Quanto maior o fluxo, maior o número de linhas. Quanto maior o fluxo, mais linhas saem. Quanto menor, menos linhas saem.

No nosso problema podemos totalmente ignorar essa notação complicada. Por causa da simetria, fica fácil ver que a relação que precisamos é apenas:

$\displaystyle{ \Phi _E = E \cdot A =\frac{Q}{\epsilon_0}}$

Basicamente E é o campo elétrico que a gente quer achar. A é a área dessa nossa superfície gaussiana. Q é a carga dentro da superfície e ε é uma constante.

Vamos com calma.

Precisamos achar o valor de E. Para isso precisamos de mais informações.

Qual a área da nossa superfície? Ela está dentro do nosso cilindro, e tem um raio r = 7,84 cm.

A área é basicamente A = 2 π r L onde L = 200 m é o comprimento do cilindro. Os valores não importam por agora.

Temos então que o fluxo é:

$\displaystyle{ \Phi _E = E \cdot2\cdot\pi \cdot r\cdot L=\frac{Q}{\epsilon_0}}$

Precisamos achar o valor da carga que está dentro da nossa superfície.

Perceba que a nossa superfície cria uma região cilíndrica menor que o cilindro considerado.

Apenas a carga dentro dessa região mais clara que devemos considerar.

Qual a carga dentro dessa região?

Temos a informação de que a densidade de carga denominada ρ é constante. Ou seja, a carga é uniforme no cilindro.

A quantidade de carga dentro da nossa superfície é $Q = \rho V$.

E qual o volume da nossa superfície?

O volume é justamente V = π r² L

Por causa disso temos que:

$\displaystyle{Q=\rho \cdot \pi\cdot r^2 \cdot L}$

E por fim, podemos escrever a forma final para o campo elétrico dentro do cilindro:

$\displaystyle{ \Phi _E = E \cdot2\cdot\pi \cdot r\cdot L=\frac{\rho \cdot \pi\cdot r^2 \cdot L}{\epsilon_0}}$

$\displaystyle{\boxed{E =\frac{\rho \cdot r }{2\epsilon_0}}}$

Essa expressão nos dá o valor do campo elétrico em qualquer ponto dentro do nosso cilindro.

Nós podemos usar os valores que temos:

$r = 7.84\text{ cm}=0.0784\text{ m}$

$\rho = 207\cdot 10^{-12} \text{C/m}^3$

$\epsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12}\text{ C}^2\text{/Nm}^2$

Colocando os valores, temos:

$\displaystyle{E =\frac{207\cdot 10^{-12} \text{C/m}^3\cdot 0.0784\text{ m} }{2\cdot 8.85 \cdot 10^{-12}\text{ C}^2\text{/Nm}^2}}$

$\displaystyle{E =0.917\text{ N/C}}$

Esse é o valor do campo elétrico na distância referida.