: Considere um bloco cuja base é um quadrado de aresta R√π, e cuja altura
´e 2R. Nesse bloco estão destacadas duas pirâmides definidas por suas diagonais. Considere, também, uma esfera de raio R e que o bloco e a esfera
estão apoiados em um plano α
Calcule o volume:
a) do sólido formado pela parte do bloco que não é ocupada pelas pirâmides;
b) da esfera.Verifique que os volumes dos dois sólidos são iguais e que qualquer plano paralelo a α determina seções de áreas iguais nos dois sólidos.
Soluções para a tarefa
Vemos por meio de analise geometrica que:
Volume:
Área:
Explicação:
Este é um exercício complicado, e exige muito visualização.
Encontrei a imagem na internet e estou colocando aqui para auxiliar.
Primeiramente vamos encontrar o volume do bloco:
Agora o volume de uma da pirâmides, que é área da base vezes altura, sobre 3:
Como são duas pirâmides, o volume total das pirâmides , basta multiplicar por 2:
Agora se queremos saber o volume do espaço sem pirâmides, basta tirarmos do volume do bloco total, o volume das duas pirâmides juntas:
Este é o volume da parte do bloco sem as pirâmides.
Agora o volume da esfera, é dado pela formula:
Que fica:
Que é igual ao volume do bloco sem pirâmides.
Agora para explicar o plano paralelo, anexei outra imagem, onde tem uma linha de corte na altura "a".
Assim a área cortada por "a" dentro do bloco sem pirâmide, seria a área da base menos a área da base da pirâmide menor que se encontra acima do plano de corte:
E note que o lado da base acima do corte é proporcional pelo teorema de tales ao lado original, assim:
Este é o lado da base da pirâmide acima do corte, então a área fica:
Agora a área de corte da esfera, vemos pelo desenho que fiz que o raio efectivo sobre o corte é de:
E como sabemos que área de circunferência é:
Então:
E vemos assim que as duas áreas são iguais.