Matemática, perguntado por eduardooliveirp81zk7, 11 meses atrás

: Considere um bloco cuja base é um quadrado de aresta R√π, e cuja altura
´e 2R. Nesse bloco estão destacadas duas pirâmides definidas por suas diagonais. Considere, também, uma esfera de raio R e que o bloco e a esfera
estão apoiados em um plano α

Calcule o volume:

a) do sólido formado pela parte do bloco que não é ocupada pelas pirâmides;


b) da esfera.Verifique que os volumes dos dois sólidos são iguais e que qualquer plano paralelo a α determina seções de áreas iguais nos dois sólidos.

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
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Vemos por meio de analise geometrica que:

Volume: V=\frac{4}{3}\pi R^3

Área: A=\pi (R^2-(R-a)^2)

Explicação:

Este é um exercício complicado, e exige muito visualização.

Encontrei a imagem na internet e estou colocando aqui para auxiliar.

Primeiramente vamos encontrar o volume do bloco:

V=(R\sqrt{\pi})^2.2R

V=2\pi R^3

Agora o volume de uma da pirâmides, que é área da base vezes altura, sobre 3:

V=\frac{1}{3}(R\sqrt{\pi})^.R

V=\frac{1}{3}\pi R^3

Como são duas pirâmides, o volume total das pirâmides , basta multiplicar por 2:

V=\frac{2}{3}\pi R^3

Agora se queremos saber o volume do espaço sem pirâmides, basta tirarmos do volume do bloco total, o volume das duas pirâmides juntas:

V=2\pi R^3-\frac{2}{3}\pi R^3

V=\frac{6}{3}\pi R^3-\frac{2}{3}\pi R^3

V=\frac{4}{3}\pi R^3

Este é o volume da parte do bloco sem as pirâmides.

Agora o volume da esfera, é dado pela formula:

V=\frac{4}{3}\pi r^3

Que fica:

V=\frac{4}{3}\pi R^3

Que é igual ao volume do bloco sem pirâmides.

Agora para explicar o plano paralelo, anexei outra imagem, onde tem uma linha de corte na altura "a".

Assim a área cortada por "a" dentro do bloco sem pirâmide, seria a área da base menos a área da base da pirâmide menor que se encontra acima do plano de corte:

E note que o lado da base acima do corte é proporcional pelo teorema de tales ao lado original, assim:

\frac{L}{R\sqrt{\pi}}=\frac{R-a}{R}

L=(R-a)\sqrt{\pi}

Este é o lado da base da pirâmide acima do corte, então a área fica:

A=\pi R^2-\pi (R-a)^2

Agora a área de corte da esfera, vemos pelo desenho que fiz que o raio efectivo sobre o corte é de:

r^2=R^2-(R-a)^2

E como sabemos que área de circunferência é:

A=\pi r^2

Então:

A=\pi r^2

A=\pi (R^2-(R-a)^2)

E vemos assim que as duas áreas são iguais.

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