Question

Considere u e w dois vetores não nulos. Pede-se: (a) Determinar o escalar a tal que u - 2aw seja ortogonal a w. (c) Mostrar que (u+w) x (u-w) = 2w x u

Answer 1

Olá!

Sejam $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ vetores em $\mathbb{R}^3$. Para que a ortogonalidade da condição (a) seja satisfeita, o produto escalar dos vetores deve ser zero, logo, temos que:

$(\vec{u} - 2a\vec{w}) \cdot \vec{w}=0\\ \vec{u} \cdot \vec{w} - 2a(\vec{w} \cdot \vec{w})=0\\ a = \frac{\vec{u} \cdot \vec{w}}{2\|\vec{w}||^2}$

Para a verificação do produto vetorial da condição (c), buscamos demonstrar que:

$(\vec{u}+\vec{w}) \times (\vec{u}-\vec{w}) = 2\vec{w} \times \vec{u}\\ (\vec{u}+\vec{w}) \times (\vec{u}-\vec{w}) = \left \langle 2w_yu_z-2u_yw_z,2w_xu_z-2u_xw_z,2w_yu_y-2u_xw_y \right \rangle \\ (\vec{u}+\vec{w}) \times (\vec{u}-\vec{w}) =\left \langle \left|\begin{array}{cc}u_y+w_y&u_z+w_z\\u_y-w_y & u_z-w_z\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}u_x+w_x&u_z+w_z\\u_x-w_x & u_z-w_z\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}u_x+w_x & u_y+w_y\\u_x-w_x & u_y-w_y\end{array}\right| \right \rangle\\ (\vec{u}+\vec{w})\times (\vec{u}-\vec{w})=\left \langle u_x+w_x,u_y+w_y,u_z+w_z \right \rangle \times \left \langle u_x-w_x,u_y-w_y,u_z-w_z \right \rangle\\ (\vec{u}+\vec{w})\times (\vec{u}-\vec{w})=(\vec{u}+\vec{w})\times (\vec{u}-\vec{w})$

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