Question

Considere três circunferências, α, β e γ, no plano cartesiano.
A circunferência α é tangente ao eixo y no ponto (0, 4) e seu
centro é o ponto (-3, 4). A circunferência β tem centro na
origem e raio igual a 2. A circunferência γ tem centro no quarto quadrante, raio igual a 4 e é tangente aos eixos x e y. O
número total de pontos em comum que essas circunferências
têm, duas a duas, é:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Resposta: D) 3
Alguém pode explicar o motivo?

Answer 1

Resposta:

d) 3

Explicação passo a passo:

A questão trata do posicionamento relativo entre circunferências. Pra resolver devemos encontrar o raio de cada uma e a distância entre os centros.

Vou anexar uma figura com a conformação correta, porém lembro que é difícil fazer tudo certo de primeiro. Normalmente você começa desenhando de um jeito, aí pelas contas vê que não é como você desenhou e tem que redesenhar (eu mesmo tive que fazer isso).

Circunferência β:

Centro: (0,0) - Origem.

Raio: 2

Circunferência α:

Centro: (-3, 4)

Para acharmos o raio, basta vermos a distância entre o ponto de tangência dado (0,4) e o centro (-3,4). Fazer um esboço da figura ajuda bastante. Vemos que a distância é |-3| = 3. Logo:

Raio: 3

Circunferência γ:

Como o enunciado disse que raio é 4, a circunferência é tangente a ambos os eixos e que está no quarto quadrante, podemos desenhar facilmente a figura de γ e constatamos que:

Centro: (4,-4)

Raio: 4

Distância entre os centros de α, β:

Vamos calcular a distância entre os centros usando a fórmula da distância entre dois pontos.

$d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 - (y_1-y_2)^2}\\\\ d_{\alpha,\beta} = \sqrt{(-3-0)^2-(4-0)^2}\\ \\ d_{\alpha,\beta} = \sqrt{25}\\ \\ d_{\alpha,\beta} = 5$

A distância entre os centros de α, β é 5, porém esse valor também é exatamente o valor da soma dos raios de α, β: 3 + 2 = 5.

Se a distância entre os centros é igual à soma dos raios, então as circunferências são tangentes entre si (apenas um ponto em comum).

Distância entre os centros de β e γ:

Usando a mesma fórmula:

$d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 - (y_1-y_2)^2}\\\\ d_{\beta,\gamma} = \sqrt{(0-4)^2-(0-(-4))^2}\\\\ d_{\beta,\gamma} = \sqrt{32}\\\\ d_{\beta,\gamma} = 4\sqrt{2} \approx \bold{ 5,65}$

A soma dos raios das circunferências β e γ é 2 + 4 = 6.

Então vemos que a distância entre os centros é menor que a soma dos raios de β e γ: (5,65 < 6)

Isso significa que uma circunferência está "entrando" na outra, ou seja, que são secantes (veja a figura anexa). Sendo secantes, possuem 2 pontos em comum.

Daí, o total de pontos em comum duas a duas é:

1 + 2 = 3