Considere todos os números inteiros de 200 a 700. Quantos desses números inteiros não são divisíveis por 7?
Soluções para a tarefa
Considerando todos os números inteiros entre 200 e 700, pode-se concluir que 429 números não são divisíveis por 7.
Resolução através da Progressão Aritmética
Para resolver esta questão, iremos utilizar uma progressão aritmética. No entanto, vamos começar identificando quantos números existem entre 200 e 700. Observe que fazendo a subtração entre 700 e 200 obtemos 500, no entanto este cálculo desconsidera o próprio 200. Por exemplo, entre 0 e 10 existem 11 números e não 10, pois o 0 não deve ser desconsiderado.
Logo, podemos concluir que existem 501 números entre 200 e 700. Agora, precisamos identificar quantos destes números são divisíveis por 7. Para isto, vamos começar identificando qual é o primeiro número entre 200 e 700 que é divisível por 7, o que pode ser feito por tentativa e erro:
- 200 não é divisível por 7;
- 201 nao é divisível por 7;
- 202 não é divisível por 7;
- 203 é divisível por 7, resultando em 29.
Assim, sabemos que 203 é o primeiro número entre 200 e 700 que é divisível por 7. Assim, podemos criar uma progressão aritmética com os números divisíveis por 7. Perceba que os números divisíveis por 7 seguintes serão obtidos através de consecutivas somas de 7, obtendo, por exemplo, 210, 217, 224, e assim por diante. Logo, temos uma progressão aritmética de razão 7.
Neste sentido, poderemos agora elaborar a progressão aritmética, utilizando a fórmula do termo geral, que é:
An = A1 + (n - 1)r, onde An representa o termo geral, n representa a posição de um determinado termo, A1 representa o primeiro termo e r representa a razão da progressão.
Assim, o valor de An é 700, pois ele é o último termo divisível por 7, o valor de A1 é 203 e a razão é 7. Iremos usar esta fórmula para descobrir a posição que 700 ocupa na progressão, o que nos informará quantos são os números divisíveis por 7. Logo:
700 = 203 + (n - 1) × 7
700 = 203 + 7n - 7
700 = 196 + 7n
700 - 196 = 7n
504 = 7n
504/7 = n
72 = n
Descobrimos assim que são 72 números divisíveis por 7 entre 200 e 500. No entanto, o enunciado nos solicita quantos não são divisíveis por 7. Para isto, basta fazer uma subtração entre 501 e 72. Logo:
501 - 72 = 429
Assim, descobrimos que são 429 números não divisíveis por 7 entre 200 e 700.
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