Question

Considere todas as matrizes da forma em que x é um número real. Sabe-se que X é uma dessas matrizes e que o elemento da segunda linha e primeira coluna da inversa de X é 2 a) Qual é a matriz X? b) Qual é a matriz X^-1?

Answer 1

Olá, 
 Representando o problema temos.

$\left[\begin{array}{cc}x&3x\\-2x&-4x\end{array}\right] * \left[\begin{array}{cc}a&b\\2&c\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right] \\ ax+6x=1 bx+3cx=0 \\ \\ -2ax-8x=0 -2bx-4cx=1$

Note que já montei o sistema linear representado pela matriz, veja também, que podemos descobrir o valor de "a" olhando a primeira equação da segunda linha, e posteriormente descobrir o valor de X, vejamos.

$-2ax-8x=0 \\ -2ax= 8x \\ a=-4$

Substituindo na primeira equação da primeira linha temos.

$(-4)x+6x=1 \\ \\ 2x=1 \\ \\ x= \frac{1}{2}$

A) $\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} &3*\frac{1}{2} \\-2*\frac{1}{2} &-4*\frac{1}{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} &\frac{3}{2}\\-1&-2\end{array}\right]$

B)   Para responder essa questão vamos olhar para a segunda coluna de equações, já sabemos o valor de X, basta formar um sistema e resolver, vejamos.

$bx+3xc=0 \\ \\ -2bx-4xc=1 \\ \\ \frac{b}{2} +\frac{3}{2}c=0 \\ \\ b=-3c \\ \\ -2.-3c.\frac{1}{2} -4.\frac{1}{2}.c =1 \\ \\ 3c-2c=1 \\ \\ c=1 \\ \\ b=-3c \\ \\ b=-3$

$\left[\begin{array}{cc}a&b\\2&c\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-4&-3\\2&1\end{array}\right]$

Espero ter ajudado.