Question

Considere T : P2[x](R) -> P4[x](R) a transformação linear definida por T(p(x)) = p(x²) (i) Determine Nuc(T) e determine sua dimensão. (ii) Uma base para a imagem de T:

Answer 1

Oi, Jr.

$\text{(i) }p(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0, a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R} \\\\ p(x^2) = a(x^2)^2 + a_1x^2 + a_0 = a_2x^4 + a_1x^2 + a_0 \\\\ p(x^2)=0 \Leftrightarrow a_2x^4 + a_1x^2 + a_0 = 0 \Leftrightarrow a_2=a_1=a_0=0$

Ou seja: 

$Nuc(T)=\{p(x)\in P_2(\mathbb{R})\ |\ p(x)\equiv 0\} \Rightarrow \\\\ Nuc(T)=\{0\} \Rightarrow\boxed{dim(Nuc(T))=0}$

Observação: Subespaços vetoriais nulos possuem dimensão zero e é o único caso possível de subespaço vetorial com dimensão zero.


$\text{(ii) }Im(T) = \{p(x) \in P_4(\mathbb{R})\ |\ p(x)=a_2x^4 + a_1x^2 + a_0,a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}\}$

Um base para Im(T) é  $\boxed{\{x^4,x^2,1\}},$  pois, conforme verificado em (i),
  
$a_2x^4 + a_1x^2 + a_0 = 0 \Leftrightarrow a_2=a_1=a_0=0 \Rightarrow$  o conjunto de monômios

$\{x^4,x^2,1\}$  é L.I. Além disso, o conjunto  $\{x^4,x^2,1\}$  gera Im(T), pois

$Im(T) = \{p(x) \in P_4(\mathbb{R})\ |\ p(x)=a_2x^4 + a_1x^2 + a_0,a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}\}.$