Question

Considere que certo país troca de moeda cada vez que a inflação acumulada atinge a cifra de 900%. A nova moeda vale sempre 1.000 vezes a antiga. Com uma inflação de 25% ao ano, em quantos anos esse país trocará de moeda? (Use Log 2 = 0,301)

Answer 1

Boa noite!

Então, sempre que a moeda ficar desvalorizada em 900%, trocamos a moeda. Temos, então:
Inicialmente: X
Para trocar de moeda, este valor (x) deve aumentar de 900%, então:
Trocar de moeda:
$X+900\%X=X\left(1+900\%\right)=X\left(1+\dfrac{900}{100}\right)=X(1+9)=10X$

Portanto, para aumentar de 900% o valor inicial fica multiplicado por 10.

Continuando:
Inflação: 25% a.a.
Então, calculando a inflação anualmente, teremos:
$10x=x\left(1+25\%\right)^n\\10=\left(1+0,25\right)^n\\10=1,25^n\\n=\log_{1,25}{10}\\n=\dfrac{\log 10}{\log 1,25}=\dfrac{\log 10}{\log \dfrac{10}{8}}\\n=\dfrac{1}{\log 10-\log 2^3}=\dfrac{1}{1-3\log 2}=\dfrac{1}{1-3\cdot 0,301}\\n=\dfrac{1}{1-0,903}=\dfrac{1}{0,097}\\\boxed{n\approx 10,31}$

Ou seja, em pouco mais de 10 anos irá trocar de moeda.

Espero ter ajudado!