Question

Considere que ABC é um triângulo acutângulo inscrito em uma circunferência L. A altura traçada do vértice B intersecta L no ponto D. Sabendo-se que AD=4 e BC-8, calcule o raio de L e assinale a opção correta.

Answer 1

Olá!

É bom fazer um diagrama para resolver melhor (imagem):

Então, sabemos que os lados midem:

AD = 4

BC = 8

Ao fazer um segmento que vai de C até D vamos ter um ângulo menor a 90°, ou seja: CD = 90° - α

Então, vamos a ter dos triangulos que podem determinar o diametro de L (2 Radio), aplicando a Lei dos senos para cada um temos:

$\frac{8}{sen \alpha} = 2R$

Isolamos sen α

$sen \; \alpha = \frac{8}{2R} \\ sen \alpha = \frac{4}{R}$

E também temos:

$\frac{4}{sen (90^{0} - \alpha)} = 2R$

Isolamos sen α:

$sen (90 ^{0} - \alpha) = \frac{4}{2R} \\ cos \alpha = \frac{2}{R}$

Agora com a soma dos quadrados dos lados achados em cada equação, podemos determinar o Radio:

$\frac{4^{2}}{R^{2}} + \frac{2^{2}}{R^{2}} = 1$

$\frac{16}{R^{2}} + \frac{4}{R^{2}} = 1$

$\frac{20 }{R^{2}} = 1 \\ R^{2} = 20 \\ R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Assim temos que o raio de L é 2√5