Matemática, perguntado por anecurtir3870, 1 ano atrás

Considere que ABC é um triângulo acutângulo inscrito em uma circunferência L. A altura traçada do vértice B intersecta L no ponto D. Sabendo-se que AD=4 e BC-8, calcule o raio de L e assinale a opção correta.

Soluções para a tarefa

Respondido por vchinchilla22
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Olá!


É bom fazer um diagrama para resolver melhor (imagem):


Então, sabemos que os lados midem:


AD = 4

BC = 8


Ao fazer um segmento que vai de C até D vamos ter um ângulo menor a 90°, ou seja: CD = 90° - α


Então, vamos a ter dos triangulos que podem determinar o diametro de L (2 Radio), aplicando a Lei dos senos para cada um temos:



 \frac{8}{sen  \alpha}  = 2R


Isolamos sen α


 sen \; \alpha = \frac{8}{2R} \\<br /><br />sen \alpha = \frac{4}{R} \\


E também temos:


 \frac{4}{sen (90^{0} - \alpha)}  = 2R


Isolamos sen α:


 sen (90 ^{0} - \alpha)  = \frac{4}{2R} \\<br /><br />cos \alpha = \frac{2}{R} \\



Agora com a soma dos quadrados dos lados achados em cada equação, podemos determinar o Radio:


 \frac{4^{2}}{R^{2}}    + \frac{2^{2}}{R^{2}}   = 1


 \frac{16}{R^{2}}    + \frac{4}{R^{2}}   = 1


 \frac{20 }{R^{2}}  = 1 \\<br /><br />R^{2}  = 20 \\<br /><br />R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}



Assim temos que o raio de L é 2√5

Anexos:
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