Question

Considere que a² = b² + (a + b) (a - b) e o número R abaixo (imagem anexa).

Sendo assim, tem--se que R é iguall a:
a) 9
b) 7
c) 13
d) 11
e) 15

Answer 1

Olá.

Levando em consideração o enunciado, temos a expressão:
$\mathsf{R=1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+...+2013\sqrt{1+(2014)(2016)}}}}$

Para mais fácil entendermos o raciocínio, vamos focalizar na raiz dos valores "1+(2014)(2016)". Teremos:
$\mathsf{R=1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+...+2013~~\boxed{\mathsf{\sqrt{1+(2.014)(2.016))}}}~~~}}}\\\\\\ \mathsf{R=1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+...+2013~~\boxed{\mathsf{\sqrt{1+(4.060.224)}}}~~~}}}\\\\\\ \mathsf{R=1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+...+2013~~\boxed{\mathsf{\sqrt{4.060.225}}}~~~}}}\\\\\\ \mathsf{R=1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+...+2013~~\boxed{\mathsf{2.015}}~~~}}}$

Bom, foi possível observar que nos dois casos tivemos números próximos:
1 + (2014) (2016)
1 + (2013) (2015)

Temos aí um padrão: a raiz sempre por composta por:
1 + (x) (x + 2)

Sendo assim, podemos "eliminar inutilidades" e ficar apenas com a raiz principal, que começa com "1 + 3". Montamos o padrão com 1 + (x) (x + 2).
$\mathsf{R=1+2\sqrt{1 + 3 (3 + 2)}}\\\\\mathsf{R=1+2\sqrt{1 + 3 (5)}}$

Resolvendo, teremos:
$\mathsf{R=1+2\sqrt{1 + 3 (5)}}\\\\ \mathsf{R=1+2\sqrt{1 + 15}}\\\\ \mathsf{R=1+2\sqrt{16}}\\\\ \mathsf{R=1+2(4)}\\\\ \mathsf{R=1+8}\\\\ \boxed{\mathsf{R=9}}$

Assim, está justificado porque a resposta é A.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.