Question

Considere P(x) um polinomio de grau diferente de zero tal que (x−1)P(x+1)=(x+2)P(x) para todo número real x, e (P(2))2=P(3). Então P(72)=mn, onde m e n são primos entre si e são positivos. Ache m+n.

Answer 1

Questão top dmss, achei dificilzona

Answer 2

$(x-1)P(x+1)=(x+2)P(x)\\\\P(3)=4\cdot P(2)\\(P(2))^2=4\cdot P(2)\\\\\boxed{\boxed{P(2)=0}} \\ou\\\boxed{\boxed{P(2)=4}}\\\\\\(1)P(3)=(4)P(2)\\\(2)P(4)=(5)P(3)\\(3)P(5)=(6)P(4)\\...\\(x-3)P(x-1)=(x)P(x-2)\\(x-2)P(x)=(x+1)=(x+2)P(x)$

Multiplicando todas outras.

$(x-1)!\cdot P(x+1) = \frac{(x+2)!}{3\cdot 2} \cdot P(2)$

P(2)=0 não pode, então:

$P(\frac{7}{2}) = \frac{(\frac{5}{2}+2)\cdot (\frac{5}{2}+1)\cdot \frac{5}{2}}{3\cdot 2} \cdot 4$

$P(\frac{7}{2}) = 420$

Portanto:

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed {m+n = 420+1 = 421}}}}$