Question

Considere os vetores v 1 = ( − 1 , 3 ) , v 2 = ( 3 , 2 ) e v 3 = ( 7 , 1 ) em R2 . Analise as afirmativas:

I. Os vetores v1 e v2 satisfazem a igualdade v2=−3v1.

II. O vetor v3 é uma combinação linear dos vetores v1 e v2.

III. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.

Answer 1

I. Errado

$-3\vec{V_1}~=~-3~.~(-1~,~3)\\\\\\-3\vec{V_1}~=~(-3~.~(-1)~,~-3~.~3)\\\\\\\boxed{-3\vec{V_1}~=~(3~,\,-9)}$

Sendo assim, podemos dizer que: V2 ≠ -3V1

II. Verdadeiro

Se V3 é combinação linear de V1 e V2 então existem escalares (x e y) pertencentes aos Reais que satisfazem:

$\vec{V_3}~=~x.\vec{V_1}~+~y.\vec{V_2}\\\\\\(7~,~1)~=~x\,.\,(-1~,~3)~+~y\,.\,(3~,~2)\\\\\\(7~,~1)~=~(-x~,~3x)~+~(3y~,~2y)\\\\\\(7~.~1)~=~(-x+3y~,~3x+2y)\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}-x+3y&=&7\\3x+2y&=&1\end{array}\right\\\\\\Temos~um~SPD,~logo~\vec{V_3}~\acute{e}~combinacao~linear~de~\vec{V_1}~e~\vec{V_2}$

III. Errado

Se os vetores forem linearmente independentes, então existem escalares k1 , k2 e k3 que satisfazem:

$k_1\,.\,\vec{V_1}~+~k_2\,.\,\vec{V_2}~+~k_3\,.\,\vec{V_3}~=~0$

Essa expressão resultaria em um sistema 3x3. Caso este sistema seja possível e determinável, os pontos serão linearmente independentes.

No entanto, podemos ter uma abordagem mais rápida.

Se forem linearmente independentes, os pontos não estarão alinhados e, portanto o determinante da matriz formada por eles será diferente de 0.

$\left|\begin{array}{ccc}V_1_x&V_1_y&1\\V_2_x&V_2_y&1\\V_3_x&V_3_y&1\end{array}\right|\\\\\\\left|\begin{array}{ccc}-1&3&1\\3&2&1\\7&1&1\end{array}\right|\\\\\\=~(~(-1).2.1+3.1.1+7.3.1~)~-~(~1.2.7+1.1.(-1)+1.3.3~)\\\\\\=~(~-2+3+21~)~-~(~14-1+9~)\\\\\\=~22~-~22\\\\\\=~\boxed{0}$

Como o determinante é igual a 0, os vetores não são linearmente independentes.