Question

Considere os vetores v=(1, 1, 0) e w=(0, 1, -1)
Um vetor u de módulo 2 ortogonal a v e a w que tenha a coordenada X negativa.
u=( , , , )

Answer 1

Vamos usar produto escalar e resolver um sistema.

Produto escalar entre dois vetores, é dado por :

$u.v = |u|.|v|.Cos\alpha$  ( sendo alpha o ângulo entre eles )

1) A questão diz que "u" tem módulo 2 e é ortogonal a V e W. Se "u" é ortogonal a esses dois vetores, significa que o ângulo entre eles é de 90°, ou seja, O produto escalar vale 0.

Então, vamos fazer o seguinte;

$u.v = |u|.|v|.Cos\alpha$  

$u.v = |u|.|v|.Cos90$ ( cos 90° é 0 )

$u.v = 0$  

Com isso vamos montar um sistema.

Vetores :

u = ( î, j, k)

v = (1, 1, 0)

Fazendo o produto escalar deles.

$u.v = (i.1 + j.1 + k.0 ) = 0$

I + j = 0

( guarda essa informação e vamos para o outro produto escalar )

u = ( î, j, k)

w = ( 0,1, -1 )

Fazendo o produto escalar deles.

$u.w = 0.I + 1.j + -1.k = 0$

$j - k = 0$

$j = k$

Sabendo disso vamos substituir na primeira informação

i + j = 0

i + k = 0

i = -k e i = -j

Agora, vamos usar a informação do enunciado.

O enunciado diz que o módulo de "u" vale 2.

então

$|u| = \sqrt{i^2 + j^2 + k^2 }$  

Sabendo que j = k e i = - j, eu vou colocar todos em função de um letra só.

$2 = \sqrt{(-j)^2 + j^2 +j^2}$

$2 = \sqrt{3.j^2 }$

( elevando ao quadrado dos dois lados )

$4 = 3.j^2$

$j^2 = \frac{4}{3}$

$j = \pm \sqrt{\frac{4}{3} } = + \frac{2}{\sqrt{3} }$  

( positivo, porque a questão diz que x é negativo, e o representante do eixo x é o i )

Se quiser racionalizar.

$j = \frac{2\sqrt{3} }{3}$

Sabendo disso, vamos achar os outros pontos.

j = k, logo,

$K = \frac{2\sqrt{3} }{3}$

e

$i = \frac{-2\sqrt{3} }{3 }$

( lembrando que i é a representante do eixo x, a questão disse que ele é negativo )

Portanto nosso vetor "u" é

$u = ( \frac{-2\sqrt{3} }{3}, \frac{2\sqrt{3} }{3}, \frac{2\sqrt{3} }{3} )$