Question

Considere os seguintes limites: limite como x seta para a direita mais infinito de espaço numerador x à potência de 4 mais x ao cubo mais 1 sobre denominador 3 x à potência de 4 mais x mais 1 fim da fração espaço espaço e espaço limite como x seta para a direita mais infinito de numerador x à potência de 5 mais 2 x ao cubo mais 1 sobre denominador 5 x à potência de 4 mais x menos 1 fim da fração Seus resultados, respectivamente, são:

Answer 1

Temos os seguintes limites:

$\lim_{x \rightarrow + \infty {}^{ } } \frac{ {x}^{4} + x {}^{3} + 1 }{3x {}^{4} + x + 1} \: \: \: e \: \: \: \lim_{x \rightarrow - \infty {}^{ } } \frac{x {}^{5} + 2x {}^{3} + 1 }{5x {}^{4} + x - 1 }$

Vamos dividir todos os elementos dos dois limites por x⁴.

$\lim_{x \rightarrow + \infty {}^{ } } \frac{ \frac{ {x}^{4} }{x {}^{4} }+ \frac{ x {}^{3}}{x {}^{4} }+ \frac{1}{x {}^{4} } }{ \frac{3x {}^{4}}{x {}^{4} } + \frac{x}{x {}^{4} } + \frac{1}{x {}^{4} } } \: \: \: e \: \: \:\lim_{x \rightarrow - \infty {}^{ } } \frac{ \frac{x {}^{5}}{x {}^{4} } + \frac{2x {}^{3}}{x {}^{4} } + \frac{1}{x {}^{4} } }{ \frac{5x {}^{4}}{x {}^{4} }+ \frac{x}{x {}^{4} } - \frac{1}{x {}^{4} } } \\ \\ \lim_{x \rightarrow + \infty } \frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x {}^{4} } }{3 + \frac{1}{x {}^{3} } + \frac{1}{x {}^{4} } } \: \: \: e \: \: \: \lim_{x \rightarrow - \infty } \frac{x + \frac{2}{x } + \frac{1}{x {}^{4} } }{ 5 + \frac{1}{x {}^{4} } - \frac{1}{x {}^{4} } } \: \: \: \: \: \: \:$

Usando o seguinte Teorema:

• Seja um "n" um número natural, temos então que: $\lim_{x \rightarrow \pm \infty } \frac{1}{x^n} = 0$

Então:

$\lim_{x \rightarrow + \infty } \frac{1 + \cancel{\frac{1}{x} + \frac{1}{x {}^{4} }} }{3 + \cancel{\frac{1}{x {}^{3} } + \frac{1}{x {}^{4} } }} \: \: \: e \: \: \: \lim_{x \rightarrow + \infty } \frac{x + \cancel{ \frac{2}{x } + \frac{1}{x {}^{4} } }}{ 5 + \cancel{\frac{1}{x {}^{4} } - \frac{1}{x {}^{4} }} } \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \lim_{x \rightarrow + \infty } \frac{1}{3} \: \: \: e \: \: \: \lim_{x \rightarrow + \infty } \frac{x}{5} \\ \\ \boxed{ \frac{1}{3} \: \: \: e \: \: \: + \infty }$

Espero ter ajudado