Question

Considere os pontos P(x,y) do plano tal que a soma das distâncias desse ponto aos pontos A1 (- 21 , 0) e A2 ( 21 , 0) é constante e vale 10. Calcule a equação da curva descrita pelo ponto P(x,y) .

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Observação: Acho que o valor 10 do enunciado está errado. Vou considerar 58

Pelo enunciado podemos ver que é uma elipse.

O centro está entre os pontos A1 e A2, e é a média entre esses dois pontos, então o centro é C (0, 0)

Como a soma das distâncias do ponto P(x,y) aos pontos A1 (- 21 , 0) e A2 ( 21 , 0) é constante e vale 100 podemos pegar um ponto P(x,y) tal que a distância entre P e A1 é igual a distância entre P e A2 e equivalendo a 29. Na verdade esse ponto vai estar na reta y.

Então formamos o triângulo retângulo pelos pontos P, A1 e C.

Sabemos que a distância de P a A1 = 29  (que é o "a" da equação)

Sabemos que a distância de A1 a C = 21  

Por Pitágoras encontramos a distância entre C e P.

29² = 21² + Dcp²

Dcp² = 29² - 21²

Dcp² = 841 - 441

Dcp² = 400

Dcp = 20 (que é o b da equação)

Então a equação é:

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} =1\\\\\dfrac{x^2}{29^2}+\dfrac{y^2}{20^2} =1$

Espero ter ajudado!