Question

Considere os pontos A(1,5), B(3,0) e C(4, -$\frac{5}{2}$). Verifique se o ponto C é ou não colinear com A e B.

Answer 1

Para verificar se três pontos são colineares (estão alinhados) primeiro criamos a seguinte matriz com suas coordenadas:

$\left[\begin{array}{ccc}1&5&1\\3&0&1\\4&-\frac{5}{2} &1\end{array}\right]$

Em seguida calculamos o determinante desta matriz:

$det=1.0.1+5.1.4+1.3.(-\frac{5}{2})-1.0.4-5.3.1-1.1.(-\frac{5}{2})$

$det=0+20-\frac{15}{2}-0-15+\frac{5}{2}$

$det=5-\frac{15}{2}+\frac{5}{2}$

$det=\frac{10}{2}-\frac{15}{2}+\frac{5}{2}$

$det=0$

Sendo o determinante igual a 0, podemos afirmar que o ponto C é colinear com A e B.

O raciocínio é que a área do triângulo formado por estes 3 pontos é igual a metade do módulo deste determinante. Se o determinante for igual a 0, não é possível formar um triângulo com estes três pontos (não existe triângulo com 0 de área) isso ocorre somente quando os três pontos estão alinhados.