Question

Considere os pontos (4, −1,9), (8,8, −1) e (−1, 1,9).

a) Obtenha uma equação para o plano  que passa pelos pontos P, Q e R.

Necessário desenvolvimento. Ajuda ae

Answer 1

Temos os seguintes pontos:

$A (4, −1,9), \: B (8,8, −1) \: e \: C (−1, 1,9)$

Primeiramente vamos encontrar dois vetores, para isso devemos traçar dois vetores nesses pontos e depois trazê-los para a origem. No meu caso eu escolherei traçar o vetor AB e AC, agora é só transladar eles para a origem fazendo a subtração do ponto final pelo inicial:

$\vec{AB} = B - A \longrightarrow (8,8, −1) - (4, −1,9) \\ \vec{AB} = (4,9, - 10) \\ \vec{AC} = C - A\longrightarrow (−1, 1,9) - (4, −1,9) \\ \vec{AC} = ( - 5,2,0)$

Agora vamos encontrar um vetor perpendicular ao plano através desses dois vetores, para isso, basta calcularmos o produto vetorial, pois como sabemos o produto vetorial tem como resultado um outro vetor que é perpendicular aos outros dois envolvidos no cálculo, então:

$\begin{bmatrix}i&j&k \\ 4&9& - 10 \\ - 5 &2& 0\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}i&j \\ 4&9\\ - 5 &2\end{bmatrix} \\ det = 20i + 50j+53k$

Pegando apenas os valores desse vetor, sem as coordenadas vetorias, temos que:

$\underbrace{\vec{v} = (20, \: 50, \: 53)}_{vetor \: normal \: ao \: plano}$

Para finalizar, basta pegar um dos pontos dado no enunciado e esse vetor normal e substituir na equação geral de um plano:

$\boxed{\pi : \: ax + by + cz + \underbrace{d}_{a _{ x_0 }+ b_{ y_0} + c _{z _0} }= 0}$

Os valores de (a, b e c) são referentes ao vetor e os dados (x, y e z) representa os valores do ponto. Substituindo os dados:

$20x+ 50y + 53z + 20.( - 1) + 50.1 + 53.9 = 0 \\ 20x + 50y + 53z -507 = 0 \\ \boxed{20x + 50y + 53z = 507}$

Espero ter ajudado