Question

Considere os planos P1 dado por (x - y - 2z = 10) e P2 dado por [2x + y - 4z = -5]. Assim como a reta R dada pelas equações paramétricas: [x = 1 + t], [y = 1 - t], [z = 4 +2t].
a) Encontre uma equação linear que descreva o plano P que contém o ponto (1, 0, -2) e é perpendicular a P1 e P2.
b) Calcule a distância do plano P à reta R assim como cosseno do ângulo formado por R e P2.

Answer 1

I -

Temos que aplicar uma matriz para encontrar o vetor normal do plano P que é perpendicular aos dois planos. Se fosse apenas à um plano, só substituiríamos numa fórmula básica que existe para encontrar a equação linear desse plano P.

Vetor normal do plano P1 = (1,-1,-2) e do plano P2 = (2,1,-4). Agora só falta o do plano P:

$det \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-1&-2\\2&1&-4\end{array}\right] \\ \\ \\ -4j+4i+k-(-4j-2k-2i) \\ \\ -4j+4i+k+4j+2k+2i \\ \\ 6i+0i+3k \\ \\ (6,0,3)$

Encontramos o vetor normal do plano P que é perpendicular aos planos P1 e P2. Já podemos montar a equação do plano P que passa por (1,0,-2), mas só falta o valor de "d" que é o termo independente da equação, sendo que o vetor normal é (a,b,c) e o ponto por onde ele passa é (xo,yo,zo), temos:

$d=-ax_{o}-by_{o}-cz_{o} \\ \\ d=-6.1-0.0-3.(-2) \\ \\ d=-6-0+6 \\ \\ d=-6+6 \\ \\ d=0$

Equação Linear do plano P:

$ax+by+cz+d=0 \\ \\ 6x+0y+3z+0=0 \\ \\ 6x+3z=0$

II - 

Distância do plano à reta é a mesma coisa da distância de um ponto ao plano, só temos que escolher um ponto pertencente à reta e jogar na fórmula junto com a equação do plano:

6x+3z=0 ao ponto (1,1,4) pertencente à reta:

$d=\frac{|ax_{o}+by_{o}+cz_{o}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \\ \\ d=\frac{|6.1+0.1+3.4+0|}{\sqrt{6^{2}+0^{2}+3^{2}}} \\ \\ d=\frac{|6+0+12+0|}{\sqrt{36+0+9}} \\ \\ d=\frac{|18|}{\sqrt{45}} \\ \\ d=\frac{18}{\sqrt{45}} \\ \\ d=\frac{18}{\sqrt{45}}.\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{45}} \\ \\ d=\frac{18\sqrt{45}}{45} \\ \\ d=\frac{6\sqrt{45}}{15}$

III - 

O angulo formado entre uma reta e um plano é arco cosseno do produto do vetor diretor da reta pelo vetor normal do plano dividido pelo produto norma entre eles dois, sendo que o vetor diretor da nossa reta é u = (1,-1,2) e o vetor normal do plano P2 é n = (2,1,-4).

$arccos= \frac{|u.n|}{||u||.||n||} \\ \\ arccos=\frac{|(1,-1,2)(2,1,-4)|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}.\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-4)^{2}}} \\ \\ arccos=\frac{|2-1-8|}{\sqrt{1+1+4}.\sqrt{4+1+16}} \\ \\ arccos=\frac{|-11|}{\sqrt{6}.\sqrt{21}} \\ \\ arccos=\frac{11}{\sqrt{126}} \\ \\ arccos=\frac{11}{\sqrt{126}}\frac{\sqrt{126}}{\sqrt{126}} \\ \\ arccos=\frac{11\sqrt{126}}{126} = 11,50$

O angulo entre a reta R e o Plano P2 é de aproximadamente 11,5º.