Considere os números naturais que podem ser compostos pelos algarismos XYZZYX, nessa ordem, em que X, Y e Z são algarismos distintos. Se A e B são os dois maiores números naturais divisíveis por 3 e 5 ao mesmo tempo, obtidos a partir de XYZZYX, pela substituição de X, Y e Z, então A + B é igual a:
Soluções para a tarefa
Resposta:
1192290
Explicação passo-a-passo:
Temos que:
A ou B= XYZZYX, onde A, B, X, Y, Z são naturais.
Se A e B são os dois maiores números naturais divisíveis por 3 e 5 ao mesmo tempo, então podemos dizer que:
a) A e B <= 999999
b) Se A e B são divisíveis por 3 e 5 ao mesmo tempo, então:
b.1) Para ser divisível por 3: 2X+2Y+2Z é divisível por 3
b.2) Para ser divisível por 5: X=5 (X<>0 porque 0 não é natural)
Logo:
X+Y+Z= 3k/2, com X=5, com k natural (1,2,3,...)
5+Y+Z= 3k/2
Y+Z= 3k/2 - 5
Y+Z= (3k - 10)/2
Como Y e Z são distintos, e <> 5, então considerando XYZZYX como max número, temos:
1) Y=9 e Z=8:
Y+Z= (3k - 10)/2
9+8= (3k - 10)/2
17. 2= 3k - 10
34+ 10= 3k
44= 3k
44 não é divisível por 3. Vamos buscar novo par max para Y e Z.
2) Y=9 e Z=7:
Y+Z= (3k - 10)/2
9+7= (3k - 10)/2
16. 2= 3k - 10
32+ 10= 3k
42= 3k
42 é divisível por 3, logo já obtemos o 1o. par max para Y e Z = 9 e 7 respectivamente.
Vamos obter o 2o. par max pelo mesmo critério.
3) Y=9 e Z=6:
Y+Z= (3k - 10)/2
9+6= (3k - 10)/2
15. 2= 3k - 10
30+ 10= 3k
40= 3k
40 não é divisível por 3. Vamos buscar novo 2o. par max para Y e Z.
4) Y=9 e Z=5:
Y+Z= (3k - 10)/2
9+5= (3k - 10)/2
14. 2= 3k - 10
28+ 10= 3k
38= 3k
38 não é divisível por 3. Vamos buscar novo 2o. par max para Y e Z.
5) Y=9 e Z=4:
Y+Z= (3k - 10)/2
9+4= (3k - 10)/2
13. 2= 3k - 10
26+ 10= 3k
36= 3k
36 é divisível por 3, logo já obtemos o 2o. par max para Y e Z = 9 e 4 respectivamente.
Assim, temos os nos:
A= XYZZYX = 597795
B= XYZZYX = 594495
Ambos A e B são divisíveis por 3 e 5, e são maiores números na forma XYZZYX, considerando X, Y, Z naturais e distintos.
Logo:
A+B= 597795 + 594495 = 1192290
Blz?
Abs :)