Question

. Considere os conjuntos abaixo: F = conjunto de todos os filósofos M = conjunto de todos os matemáticos C = conjunto de todos os cientistas P = conjunto de todos os professores a) Exprima cada uma das afirmativas abaixo usando a linguagem de conjuntos. I. Todos os matemáticos são cientistas. II. Alguns matemáticos são professores. III. Alguns cientistas são filósofos. IV. Todos os filósofos são cientistas ou professores.

Answer 1

• O que são conjuntos?

Conjunto é uma listagem de elementos não repetidos em que a ordem que são dispostos não importa. Existem algumas operações entre conjunto, a exemplo da união e interseção.

1. A operação união (∪) forma um conjunto de todos os elementos presentes em dois conjuntos.
2. A operação interseção (∩) forma um conjunto de elementos presentes, ao mesmo tempo, em dois conjuntos.

Exemplos de conjuntos:

1. Conjunto dos números naturais: |N = {0,1,2,3,4, ...}
2. Conjunto dos dias da semana: D = {Segunda, Terça, ... , Domingo}
3. Conjunto das letras do alfabeto: L = {z,y,w,x, ... , a}

Exemplos de operações:

1. A = {1,2,3}; B = {3,4,5}; A U B = {1,2,3,4,5}
2. A = {0,1,2}; B = {1,2,3}; A ∩ B = {1,2}

• Resolução da questão:

Seja: F = conjunto de todos os filósofos.

        M = conjunto de todos os matemáticos.

        C = conjunto de todos os cientistas.

        P = conjunto de todos os professores.

Então, analise a Figura.

Answer 2

Usando a linguagem de conjuntos temos:

I. Todos os matemáticos são cientistas = M ⊂ C ⇔ ∀x ∈ M : x ∈ C  

II. Alguns matemáticos são professores = M(x) ∈ P / ∃x ∈ P.

III. Alguns cientistas são filósofos = C(x) ∈ F / ∃x ∈ F.

IV. Todos os filósofos são cientistas ou professores = F ⊂ { C ∪ P} ⇔ ∀x ∈ F : x ∈ C ou x ∈ P.

Para resolver essa questão podemos usar o Diagrama de Venn, como o da imagem. Através dele podemos observar com mais clareza cada elemento do conjunto.

Dados:

F = conjunto de todos os filósofos

M = conjunto de todos os matemáticos

C = conjunto de todos os cientistas

P = conjunto de todos os professores

Os símbolos são:

∈ = Pertence

∉ = Não pertence

⇔ = se e somente se

∀ = para todo

: = se verifica

∃ = existe pelo menos um

/ = tal que  

A ∩ B = são elementos comuns a A e B

A U B =  são todos os elementos de A e B

A ⊂ B = A está contido em B, todo elemento de A é elemento de B

Dadas as afirmações podemos reescreve-las na linguagem de conjuntos:

I. Todos os matemáticos são cientistas.

M ⊂ C ⇔ ∀x ∈ M : x ∈ C

lê-se : O conjunto de todos os matemáticos é subconjunto do conjunto de todos os cientistas, se e somente se, para todo elemento pertencente ao conjunto de todos os matemáticos, se verifica que o elemento pertence ao conjunto de todos os cientistas.

II. Alguns matemáticos são professores.

M(x) ∈ P / ∃x ∈ P

lê-se : Um elemento x do conjunto de todos os matemáticos pertence ao conjunto de todos os professores, tal que , existe pelo menos um elemento x pertencente ao conjunto de todos os professores.

III. Alguns cientistas são filósofos.

C(x) ∈ F / ∃x ∈ F

lê-se : Um elemento x do conjunto de todos os cientistas pertence ao conjunto de todos os filósofos, tal que , existe pelo menos um elemento x pertencente ao conjunto de todos os filósofos.

IV. Todos os filósofos são cientistas ou professores.

utilizamos a união de C e de P o conjunto C ∪ P = {x / x ∈ C ou x ∈ P}, ou seja:

F ⊂ { C ∪ P} ⇔ ∀x ∈ F : x ∈ C ou x ∈ P

lê-se : O conjunto de todos os filósofos é subconjunto da união do conjunto de todos os cientistas com o conjunto de todos os professores, se e somente se, para todo elemento pertencente ao conjunto de todos os filósofos, se verifica que o elemento pertence ao conjunto de todos os cientistas ou o elemento pertence ao conjunto de todos os professores.

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